Explications étape par étape:
Bonsoir, question assez subtile, pour y répondre, il faut poser rigoureusement le problème.
En premier lieu, la fonction exp est strictement croissante et continue sur R, telle que exp(R) = R+* (ensemble des réels strictement positifs).
Il est donc possible de construire une bijection avec la fonction exp, dont l'ensemble de départ sera R+*, et l'ensemble d'arrivée sera R. Cette fonction, qui est en bijection avec exp, se nomme... le logarithme néperien (ln).
1- Par conséquent, posons f(x) = exp(x) et g(x) = ln(x), sa réciproque.
Soit x € R, alors par définition, si l'on souhaite construire une bijection avec la fonction g, on aura un souci, car l'ensemble de départ de g, est R+*. Il faut donc se restreindre à l'intervalle R+*. (n'oublions pas que R+* est inclus dans R).
On obtiendra ainsi f(g(x)) = x.
2- Effectuons l'opération inverse. Soit x € R+*, si x € R, problème car la fonction g ne serait pas définie. On se restreindra alors au même intervalle précédent, soit R+*, et on obtiendra g(f(x)) = x.
Oui, cela peut paraître étrange, on se dit que ln(exp(0)) = ln(1) = 0, mais c'est incorrect, car il n'y aura pas bijection.
Conclusion : x^pi = exp(pi*ln(x)) fonctionne, uniquement si x € R+*. Que dire ? Ne surtout pas tomber dans le piège, la fonction x^pi est continue en 0, mais pas exp(pi*ln(x)), par souci de bijection.
Il y a donc 2 ensembles de définition, à gauche, et à droite de l'égalité.
Bonne soirée !
