Réponse :
bonjour je te mets mon idée concernant ton exercice.
Explications étape par étape :
f(x)=(1+x)(e^-x)
1a) e^-x est toujours >0 donc le signe de f(x) dépend du signe de 1+x
f(x)=0 pour x=-1
si x<-1, f(x) <0 et si x >-1, f(x)>0
1b)limites: si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers 0+
Dérivée: f'(x)=(e^-x)-(e^-x)(1+x)=-x(e^-x)
on note que f'(x)=0 pour x=0 , f'(x)>0 pour x<0 et f'(x)<0 pour x>0
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -1 0 +oo
f'(x) + + 0 -
f(x) -oo ....C........... 0..........C........f(0) ..............D..................0+
f(0)=1
1c) trace la courbe (facile)
2) In=intégrale de 1 à n de f(x) dx
2a)Cette intégrale représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=n
Cette valeur est une aire au dessus de l'axe des abscisses elle est donc toujours >0 sauf pour I1 qui est=0
2b)On note que I(n+1)=Intégrale de 1 à (n+1) de f(x) dx=
I(n+1)=intégrale de 1à n de f(x) dx + Intégrale de n à (n+1) de f(x) dx
Ces deux intégrales étant positives la somme I(n+1) est >In
La suite In est donc croissante
3a)F(x)=(ax+b)(e^-x); F(x) est une primitive de f(x) si F'(x)=f(x)
F'(x)=a(e^-x)-(e^-x)(ax+b)=(a-ax-b)(e^-x)=(-ax+a-b)(e^-x)
par comparaison F'(x)= f(x) si a=-1 et b=-2
la fonction F(x)=(-x-2)(e^-x) est une primitive de f(x)
3b) In=F(n)-F(1)=(-n-2)(e^-n)+3/e
3c) si n tend vers +oo (-n-2)(e^-n) tend vers0
et la suite In tend vers 3/e (limite de la suite)