bjr
l'angle ABC est droit (AB le sol horizontal ; BC un mur vertical)
(CB) ⊥ (AB)
l'angle EDB est droit (la fenêtre EDBF est rectangle)
ED ⊥ (AB)
d'où ED // CB
on pose ED = x et DB = y (dimensions de la fenêtre)
les triangles ADE et ABC sont semblables
A D E
A B C
AD / AB = DE / BC (rapports égaux)
(7 - y)/7 = x/4
7x = 4 (7 - y)
7 - y = (7/4)x
y = 7 - (7/4)x (relation entre la longueur et la largeur de la fenêtre)
l'aire de la fenêtre est : (x*y)
A(x) = x [7 - (7/4)x] = 7x - (7/4)x²
1) on peut dériver A(x) pour connaître le maximum de la fonction
A'(x) = 7 - (7/2)x
s'annule pour 7 = (7/2)x
x = 2
y = 7 - (7/4)*2 = 7 - 7/2 = 7/2 = 3,5
F est le milieu de [BC]
D est le milieu de [AB]
2) sans dériver
A(x) = -(7/4)x² + 7x
= (-7/4)(x² -4x)
= (-7/4) (x² - 4x + 4 - 4)
= (-7/4) [(x - 2)² - 4]
= (-7/4) (x - 2)² + 7
= 7 - (-7/4) (x - 2)²
l'aire est la plus grande possible lorsque le nombre (-7/4) (x - 2)² que l'on retranche à 7 est le plus petit possible, c'est à dire 0
(-7/4) (x - 2)² = 0 pour x = 2
réponse
dimensions de la fenêtre
EF = 3,5 m et ED = 2 m
