Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
ln(x) est défini sur ]0;+∞] donc il faut :
x²-2x-8 > 0 qui est positif à l'extérieur des racines car le coeff de x² est positif.
Δ=(-2)²-4(1)(-8)=36
√36=6
x1=(2-6)/2=-2
x2=(2+6)/2=4
Donc Dg=]-∞;-2[ U ]4;+∞[
2)
Quand x tend vers -∞ :
lim(x²-2x-8)=lim x²=+∞
Et quand x tend vers +∞ , lim ln(x)=+∞
Donc :
lim g(x)=+∞ quand x tend vers -∞
Quand x tend vers +∞ :
Même raisonnement que ci-dessus . donc :
lim g(x)=+∞ quand x tend vers +∞
Quand x tend vers -2 avec x < -2 :
x² -2x - 8 tend vers zéro .
Et ln(x) tend vers -∞ quand x tend vers zéro.
Donc :
lim g(x)=-∞ quand x tend vers -2 avec x < 2.
Quand x tend vers 4 avec x > 4 :
Même raisonnement que ci-dessus.
Donc :
lim g(x)=-∞ quand x tend vers 4 avec x > 4.
3)
La dérivée de ln(u) est : u'/u.
Ici : u=x²-2x+8 donc u '=2x-2
g '(x)=(2x-2)/(x²-2x-8)
OU :
g '(x)=2(x-1)/(x²-2x-8)
4)
Sur Dg , le dénominateur est positif donc g '(x) est du signe de : x-1.
x-1 > 0 ==> x > 1
Donc sur ]-∞;-2[ , g'(x) < 0
Et sur ]4;+∞[ , g '(x) > 0.
tu fais un tableau pour g '(x) si tu veux .
Moi, je ne fais qu'un tableau :
x--------->-∞.......................-2 // 4.......................+∞
g '(x)---->..............-.............|| // ||................+..........
g(x)----->..............D............|| // ||............C...........
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
Tu indiques les limites dans ton tableau aux extrémités des flèches.
Voir graph non demandé.
