Réponse :
1) dans quel intervalle varie x
[0 ; 8]
2) a) montrer que f(x) = - 2 x² + 23 x
f(x) = x(8 - x) + x(15 - x)
= 8 x - x² + 15 x - x²
= - 2 x² + 23 x
b) donner le tableau de variation de f
α = - b/2a = -23/-4 = 5.75
β = f(α) = f(5.75) = - 2*5.75² + 23*5.75 = - 66.125 + 132.25 = 66.125
x 0 5.75 8
f(x) 0 →→→→→→→→→ 66.125→→→→→→→ 56
croissante décroissante
c) en déduire la valeur maximale de l'aire de la partie hachurée
la valeur maximale de l'aire est de : 66.125
3) a) déterminer g(x) en fonction de x
g(x) = 8*15 - (- 2 x² + 23 x)
= 120 + 2 x² - 23 x
donc g(x) = 2 x² - 23 x + 120
b) déterminer le tableau de variation de g
α = - b/2 a = 23/4 = 5.75
β = f(5.75) = 2*5.75² - 23*5.75 + 120 = 66.125 - 132.25 + 120 = 53.875
x 0 5.75 8
g(x) 120 →→→→→→→→→→→ 53.875 →→→→→→→→→→ 64
décroissante croissante
4) a) montrer que pour tout réel x
- 2 x² + 23 x - 30 = 2((x - 23/4)² - 289/16)
α = - b/2a = - 23/-4 = 23/4
β = f(23/4) = - 2*(23/4)² + 23*(23/4) - 30
= - 2(529/16) + 529/4 - 30
= - 1058/16 + 2116/16 - 480/16 = 578/16
a(x - α)² + β = - 2(x - 23/4)² + 578/16 = - 2((x - 23/4)² - 289/16)
b) il suffit de résoudre l'équation - 2((x - 23/4)² - (17/4)²) = 0
⇔ 2(x - 23/4 + 17/4)(x - 23/4 - 17/4) = 0
⇔ (x - 3/2)(x - 10) = 0
donc x = 3/2 ; x - 10 = 0 ⇔ x = 10 ∉ [0 ; 8]
Explications étape par étape :