Salut Corentin ;)
On considère les points A(1; 3), B(-3; 2) et C(6; -4).
RAPPEL : produit scalaire
Dans le cadre d'une géométrie analytique (avec repère orthonormé), le produit scalaire de vec(u)(x; y) par vec(v)(x'; y') est :
[tex]\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'[/tex]
Dans le cadre d'une géométrie vectorielle dans laquelle nous avons besoin d'utiliser l'angle entre les deux vecteurs, nous retenons la formule suivante :
[tex]\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||*||\vec{v}||*cos(\vec{u}, \vec{v})[/tex]
[tex]Avec\ ||\vec{u}||=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ \ ||\vec{v}||=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}[/tex]
1. Calculer [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \ et\ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB} = (-3-1; 2-3) = (-4; -1)\\\overrightarrow{AC} = (6-1; -4-3) = (5; -7)\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-4*5)+(-1)*(-7)=-20+7=\boxed{-13}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC} = (6-(-3); -4-2) = (9; -6)\\\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (4; 1)\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}=9*4+(-6)*1 = 36-6 = \boxed{30}[/tex]
2. En déduire une valeur approchée, au degré près, des mesures des angles du triangle ABC
[tex]On\ sait\ que : \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}||*||\vec{v}||* cos(\vec{u}, \vec{v})\\\\Ce\ qui\ permet\ de\ dire : \widehat{(\vec{u}, \vec{v})} = cos^{-1}(\frac{\vec{u}.\vec{v}}{||\vec{u}||*||\vec{v}||})[/tex]
[tex]||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{17}\\||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(5)^{2}+(-7)^{2}} = \sqrt{74}\\||\overrightarrow{BA}|| = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{17}\\||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{(9)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}[/tex]
[tex]\widehat{BAC} = cos^{-1} (\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}||*||\overrightarrow{AC}||}) = cos^{-1}(\frac{-13}{\sqrt{17}*\sqrt{74}}) \approx 112\ degr\'es.[/tex]
[tex]\widehat{ABC} = cos^{-1} (\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}}{||\overrightarrow{BC}||*||\overrightarrow{BA}||}) = cos^{-1}(\frac{30}{\sqrt{17}*3\sqrt{13}}) \approx 48\ degr\'es.[/tex]
On sait que la somme des angles dans un triangle est égale à 180°. On connait deux angles, ce qui permet de déduire le dernier :
[tex]\widehat{ACB} = 180 - 112 - 48 = 20\ degr\'es.[/tex]
Espérant t'avoir apporté l'aide que tu souhaitais, je te souhaite une bonne soirée ;)
