Réponse :
Bonjour,
1) a) Avec la calculatrice:
A = 1001 × 999 – 999²
= 1998
B = 57 × 55 – 55²
= 110
C = (–2) × (–4) – (–4)²
= –8
b) On décompose A et B en produits de facteurs premiers.
A = 1998
= 2 × 3 × 3 × 3 × 37
= 2 × 3³ × 37
B = 110
= 2 × 5 × 11
On observe que 2 est un diviseur commun.
Donc A et B ne sont pas premiers entre eux.
2) a) D = (x + 1)(x – 1) – (x – 1)²
= x² – 1 – (x² – 2x + 1)
= x² – 1 – x² + 2x – 1
= x² – x² + 2x – 1 + 1
= 2x – 2
2x est un multiple de 2
2 est multiple de lui-même.
Donc D est un multiple de 2.
b) D ≤ 0
⇔ 2x – 2 ≤ 0
⇔ 2x ≤ 2
⇔ x ≤ 1
Donc pour tout x ∈ ] -∞ ; 1 ] , D ≤ 0.
3) 2x – 2 = 2008
⇔ 2x = 2010
⇔ x = 1005
Or si 1000 est assimilé à x
1001 à x + 1
999 à x – 1
Alors il est de même pour 1005
Avec x = 1005
x + 1 = 1006
x – 1 = 1004
On en déduit l'expression de E:
E = (x + 1)(x – 1) – (x – 1)²
E = 1006 × 1004 – 1004²
