Bonjour,
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !!!
[tex]\left\{\begin{array}{cccc}v_0&=&50000&(1)\\b_0&=&20000&(2)\\c_0&=&40000&(3)\\v_{n+1}&=&0.9*v_n+0.1*b_n+0.01*c_n&(4)\\b_{n+1}&=&0.1*v_n+0.9*b_n+0.01*c_n&(5)\\c_{n+1}&=&0.98*c_n&(6)\\v_n+b_n+c_n&=&110000&(7)\\\end{array}\right.\\[/tex]
[tex]\text{De (4), on tire \n}\\b_{n}=10*v_{n+1}-9*v_n-0.1*c_n\ (8)\\\text{De (5) et (8), on tire \n}\\b_{n+1}&=&9*v_{n+1}-8*v_n-0.08*c_n&(9)\\\text{De (4), on tire \n}\\v_{n+2}=0.9*v_{n+1}+0.1*b_{n+1}+0.01*c_n\\=1.8*v_{n+1}-0.8*v_n-0.008*c_n+0.01*c_{n+1}\\\\c_n=110000-v_n-b_n\\=110000-10v_{n+1}+8v_n+0.1*c_n\\\\v_{n+2}-1.8v_{n+1}+0.8*v_n=220-0.02*v_{n+1}+0.016*v_n\\\\\boxed{v_{n+2}-1.78v_{n+1}+0.784*v_n=220}\\[/tex]
[tex]v_{n+2}-1.78v_{n+1}+0.784*v_n=220\ (10)\\v_{n+3}-1.78v_{n+2}+0.784*v_{n+1}=220\ (11)\\(11)-(10) \Longrightarrow \boxed{v_{n+3}-2.78v_{n+2}+2.564v_{n+1}-0.784v_n=0}\\\\Equation\ caract\'eristique:\\r^3-2.78r^2+2.56r-0.784=0\\r=1\ ou\ r=0.8\ ou\ 0.98\\\boxed{v_n=x_1*1^n+x_2*0.8^n+x_3*0.98^n}\\[/tex]
[tex]v_0=50000,\ v_1=47400,\ v_2=45392\\\\\text{On r\'esoud}\\\left\{\begin{array}{cccc} x_1+x_2+x_3&=&50000&(12)\\ x_1+0.8*x_2+0.98*x_3&=&47400&(13)\\ x_1+0.8^2*x_2+0.98^2*x_3&=&45392&(14)\\\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc} x_1&=&55000\\ x_2&=&15000\\ x_3&=&-20000\\\end{array}\right.\\\\\\\boxed{\boxed{v_n=55000+15000*0.8^n-20000*0.98^n}}[/tex]
A postériori !!!!
Comme c(n) tend vers 0, et que les variables v(n) et b(n) peuvent être permutées, par symétrie on a:
lim v(n)=55000, lim b(n)=55000, lim c(n)0.
