AMANDINE1102
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quelqu'un peut-il m'aider a résoudre cet exercice merci

 

On considère un rectangle ABCD de centre O où AB = 8 et AD = 4

M est un point de [AB] et on note AM= x ; (OM) coupe (CD) en N et la parallèle à (BD) passant par N coupe (BC) en P. Nous allons rechercher la position de M pour laquelle l'aire de MNP est maximale

 

a) calculer CN et montrer que l'aire du trapèze MBCN est égale à 16

b) Calculer les aires des triangles MBP et PCN ; en déduire que l'aire du triangle MPN est égale à  [tex]4x - \frac {x^{2}}{2}[/tex]

c) L'aire de MNP peut etre égale a 8?

d) déterminer la position de M pour laquelle l'aire de MNP est maximale

Sagot :

CN est evidemment égal à x 

 

MBCN a donc pour aire 4* ((8-x)+x)/2 soit 16

 

On peut ecrire par Thalés que x/8=CP/4 donc CP=x/2

et aire(MBP)=(8-x)(4-x/2)/2 

aire(PCN)=x*(x/2)/2 soit x²/4

 

aire de MPN : 16-x²/4-16+4x-x²/4=4x-x²/2 CQFD

 

cette fonction de x a son maximum pour x=4 valeur 8 donc OUI MNP paut avoir l'aire 8

et alors M est au milieu de AB, N au milieu de CD, P est au milieu de BC, l'aire 8 est le quart de celle du rectangle