Réponse :
1. n possède (α + 1)(β + 1) diviseurs et n
2 = 22α3
2β admet (2α + 1)(2β + 1) diviseurs.
On a donc
(2α + 1)(2β + 1) = 3(α + 1)(β + 1)
⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3
⇔ αβ − α − β + 1 = 3
⇔ (α − 1)(β − 1) = 3
2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2, 4) et (4, 2) donnant deux possibilités pour n. n ∈ {144, 324}