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Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice... pouvez vous m'aider ?
a et ß sont deux nombres entiers naturels non nuls. Le nombre n est tel que :
n= 2^a x 3^ ß
le nombre de diviseurs positifs de n^2 est le triple du nombre de diviseurs positifs de n
.
n> 200
1) Prouver que (a - 1)(ß-1) = 3.
2) Trouver n.

Sagot :

Réponse :

1. n possède (α + 1)(β + 1) diviseurs et n

2 = 22α3

2β admet (2α + 1)(2β + 1) diviseurs.

On a donc

(2α + 1)(2β + 1) = 3(α + 1)(β + 1)

⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3

⇔ αβ − α − β + 1 = 3

⇔ (α − 1)(β − 1) = 3

2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2, 4) et (4, 2) donnant deux possibilités pour n. n ∈ {144, 324}