Bonsoir :))
1. Parité des fonctions
CF.Cours : f est paire si f(-x) = f(x) et f est impaire si f(-x) = -f(x)
[tex]Ch(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2} \\\\Ch(-x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = Ch(x)\\\\La\ fonction\ cosinus\ hyperbolique\ est\ donc\ une\ fonction\ paire[/tex]
[tex]Sh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^{-x}-e^{x}}{y} \\\\Sh(-x) = -(\frac{e^{x}-e^{-x}}{y}) = -Sh(x)\\\\La\ fonction\ sinus\ hyperbolique\ est\ impaire[/tex]
2.Limites des fonctions Ch et Sh
[tex]\left. \begin{array}{ll} \lim_{x \to +\infty} e^{x}=+\infty \\ \lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0 \end{array}\right \}\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} sh(x)=+\infty \ \ et \ \ \lim_{x \to +\infty} ch(x)=+\infty[/tex]
[tex]\left. \begin{array}{ll} \lim_{x \to -\infty} e^{x}=0 \\ \lim_{x \to -\infty} e^{-x}=+\infty \end{array}\right \}\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} sh(x)=-\infty \ \ et \ \ \lim_{x \to +\infty} ch(x)=+\infty[/tex]
3. a. Dérivée de ch(x)
[tex]ch'(x) = (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} = \frac{2(e^{x}-e^{-x})}{2^{2}} \\\\ch'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = sh(x)[/tex]
3. b. Dérivée de sh(x)
[tex]sh'(x) = (\frac{x}{y})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2(e^{x}+e^{-x})}{2^{2}} \\\\sh'(x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = ch(x)[/tex]
4. Variations de ch(x) et sh(x)
[tex]ch'(x)=sh(x)\\Il \ faut\ \'etudier\ le\ signe\ de\ sh(x)\ pour\ en\ d\'eduire\ les\ variations\ de\ ch(x)\\\\sh(x)>0\Leftrightarrow \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}>0\Leftrightarrow e^{x}>e^{-x}\\\\\Leftrightarrow e^{2x}>1\Leftrightarrow 2x>0\\\\\boxed{x>0}\\\\ch'(x)=sh(x)\ est \ d\'efinie \ n\'egative \ sur \ ]-\infty; 0]\ et \ positive\ sur\ [0; +\infty[\\\\ch(x)\ est \ d\'ecroissante\ sur\ ]-\infty; 0]\ et \ croissante\ sur \ [0; +\infty[\\\\Son \ minimum\ est\ ch(0)=1[/tex]
[tex]sh'(x)=ch(x)\\Il\ faut\ \'etudier\ le\ signe\ de \ ch(x)\ pour\ en\ d\'eduire\ les\ variations\ de \ sh(x)\\\\ch(x)>0\Leftrightarrow \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}>0\Leftrightarrow on\ sait\ que\ e^{x}>0\ sur\ \mathbb R\ idem\ pour\ e^{-x}\ donc\\\ ch(x)>0\ sur\ \mathbb R[/tex]
[tex]sh'(x)=ch(x)\ est\ d\'efinie\ positive\ sur\ \mathbb R\\\\Par\ cons\'equent, sh(x)\ est\ strictement\ croissante\ sur\ \mathbb R[/tex]
5. ch(x) et sh(x) dans un repère
VOIR PIECE JOINTE
6. d(x) = ch(x)-sh(x)
[tex]d(x) = ch(x)-sh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} - \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\\\d(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}-e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{2e^{-x}}{2} \\\\d(x)=e^{-x}\\\\e^{-x}\ est\ la\ fonction\ inverse\ de \ e^{x}.\ Donc,\ e^{-x}\ est \ d\'ecroissante\ sur\ \mathbb R.[/tex]
7. Position relative de Cch et Csh
[tex]CF.COURS=\begin{cases} f(x)-g(x)\le0\ alors\ f(x)\ est\ en\ dessous\ de \ g(x)\\f(x)-g(x)\ge0\ alors\ f(x)\ est\ au\ dessus\ de\ g(x)\end{cases}\\\\\\d(x)=e^{-x}\ d\'efinie\ positive\ sur\ \mathbb R\\On\ sait\ que\ d(x)=ch(x)-sh(x)\Leftrightarrow ch(x)-sh(x)>0\\\\Par\ cons\'equent,\ ch(x)\ est\ au\ dessus\ de\ sh(x)\ sur\ \mathbb R.[/tex]
8. Limites de d(x) quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\ \ \Leftrightarrow \ \ \lim_{x \to \infty} d(x)=0\\\\d(x)\ admet\ une\ asymptote\ horizontale\ \`a \ la\ droite\ d'\'equation\ y=0\ (axe\ des\ abscisses)[/tex]
9. Montrer les différentes propriétés [tex]\forall \ x\in\mathbb R[/tex]
Propriété 1 :
[tex]ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=\frac{e^{2x}+2e^0+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2e^0+e^{-2x}}{4}\\\\ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=\frac{2e^0}{2} = e^0=1[/tex]
Propriété 2 :
[tex]ch(2x)=\frac{e^{2}+e^{-2x}}{2}\\\\ch^{2}(x)+sh^{2}(x)=\frac{2e^{2x}+2e^{-2x}}{4}=\frac{2(e^{2x}+e^{-2x})}{4} \\\\ch^{2}(x)+sh^{2}(x) = \frac{e^{2}+e^{-2x}}{2} = ch(2x)[/tex]
[tex]Avec \ la \ propri\'et\'e\ 1,\ on \ sait\ que \ ch^{2}(x)-sh^{2}(x)=1\\donc\ ch^{2}(x)=1+sh^{2}(x)\\\\On\ remplace\ cette\ valeur\ dans: ch^{2}(x)+sh^{2}(x)=ch(2x)\\Cela\ donne\ ch(2x)=2sh^{2}(x)+1\\\\Idem \ pour\ sh^{2}(x)=ch^{2}(x)-1\\Cela\ nous\ donne \ ch(2x)=2ch^{2}(x)-1[/tex]
Propriété 3 :
[tex]ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y)=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}+e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4} + \frac{e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}}{y} \\\\ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y)=\frac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4} = \frac{e^{x+y}+e^{-(x+y)}}{2}=ch(x+y)[/tex]
Propriété 4 :
[tex]sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y)= \frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}\\\\sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y) = \frac{2(e^{x+y}-e^{-x-y})}{4} \\\\sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y)=\frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2} = sh(x+y)[/tex]
En espérant t'avoir apporté les éléments de réponses nécessaires, je te souhaite une bonne continuation. N'hésite pas à revenir vers moi pour d'éventuelles questions.
