Bonjour :)
Ce cours consistera à définir le critère de dérivabilité qui permet de justifier la dérivabilité d'une fonction à l'aide du taux d'accroissement. Pour illustrer cette application, nous étudierons l'exemple de la fonction f(x) = x². Pour terminer, nous rappellerons les fonctions dérivées usuelles vues au programme de première.
- Introduction à la dérivation
En posant I, un intervalle non vide de [tex]\mathbb R[/tex].
Définition : Soit f : I [tex]\rightarrow \mathbb R[/tex] une fonction, et [tex]x_0 \in \mathbb R[/tex]. On dit que f est dérivable en [tex]x_0[/tex] si :
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \ \ \ existe,\ et \ est \ finie[/tex]
Exemple : On définit la fonction f(x) = x² pour tout réel x. Démontrons que f est dérivable sur ][tex]-\infty[/tex]; [tex]+\infty[/tex][ et [tex]\forall \ \ x \in \mathbb R[/tex] f'(x) = 2x
[tex]Soit \ x_0 \in \mathbb R\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}\\\\\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{x_0^{2} + 2x_0h + h^{2} - x_0^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x_0+h)}{h}\\\\\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} (2x_0+h) = 2x_0[/tex]
La limite étant finie, on admet donc que f'([tex]x_0[/tex]) = [tex]2x_0[/tex]
f est dérivable sur [tex]\mathbb R[/tex] et [tex]x_0 \in \mathbb R[/tex]
[tex]\forall \ x \in \mathbb R \ \ f'(x) = 2x[/tex]
- Fonctions dérivées usuelles
Rappel : f une fonction définie sur I. f est dérivable sur I si elle est dérivable pour tout x, réel appartenant à I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelé fonction dérivée de f et notée f'.
Formules de dérivation des fonctions usuelles :
[tex]f(x)=a \ \ \ \ avec\ a \in \mathbb R \ \ \ f'(x) = 0\\\\f(x) = ax\ \ avec \ a \in \mathbb R \ \ \ f'(x) = a\\\\f(x) = x^{2} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R \ \ f'(x) = 2x\\\\f(x) = x^{n} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R \ \ f'(x) = nx^{n-1} \ \ et\ n\ge1\\\\f(x) = \frac{1}{x} \ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R* [sauf (0)] \ \ f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \\\\f(x) = \frac{1}{x^{n}}\ \ d\'efinie \ sur \ \mathbb R* [sauf (0)] \ \ f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{x} \ \ d\'efinie \ sur \ [0; +\infty[ \ \ \ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ d\'erivable \ sur \ ]0; +\infty[[/tex]
Espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.
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