Bonjour :))
Cette synthèse vous permettra de connaître les fondamentaux sur l'étude des variations d'une suite. Il s'agira tout d'abord de définir le principe de croissance et de décroissance appliquée sur les suites. Ensuite, nous proposerons 3 méthodes qui seront illustrées avec des exemples applicatifs.
- Généralités sur les variations d'une suite
Définition : Soit (Un) une suite définie pour tout entier naturel.
- On dit que (Un) est croissante lorsque pour tout entier n, [tex]U_n \le U_{n+1}[/tex]
- On dit que (Un) est décroissante lorsque pour tout entier n, [tex]U_n \ge U_{n+1}[/tex]
- Comment étudier le sens de variation pour une suite ?
Méthode 1 : étudier le signe de [tex]U_{n+1}-U_n[/tex]
Propriété : Soit (Un) une suite définie pour tout n
- Si pour tout n, [tex]U_{n+1}-U_n\ge0[/tex] alors (Un) est croissante.
- Si pour tout n,[tex]U_{n+1} - U_{n}\le 0[/tex] alors (Un) est décroissante.
Exemple : On considère la suite (Un) définie telle que : Un = 2n²+1
Montrer que (Un) est croissante à partir d'un certain rang.
[tex]U_{n+1}-U_n = [2(n+1)^{2}+1]-[2n^{2}+1]\\\\U_{n+1}-U_n = 2n^{2} + 4n + 2 + 1 - 2n^{2} - 1\\\\U_{n+1}-U_n = 4n+2\\\\4n+2 \ge 0 \Leftrightarrow 4n \ge -2 \Leftrightarrow n \ge -\frac{1}{2}[/tex]
La suite (Un) est croissante à partir du rang n = 0.
Méthode 2 : étudier les variations d'une fonction
Propriété : Soit (Un) définie sur [tex]\mathbb N[/tex] de manière explicite sous la forme Un = f(n) avec f une fonction définie sur I = [0; +[tex]\infty[/tex][
- Si f est croissante sur I, alors (Un) est croissante.
- Si f est décroissante sur I, alors (Un) est décroissante.
Exemple : On considère (Un) définie comme :
[tex]U_n = \frac{1}{n+1} \ \ \ \forall \ n \in \mathbb N[/tex]
Démontrer les variations à l'aide d'une fonction associée.
[tex]U_n = f(n) = \frac{1}{n+1} \ avec \ n \in [0; +\infty[[/tex]
[tex]Calculons \ la \ d\'eriv\'ee \ de \ f(n) :\\\\f'(n) = -\frac{1}{(n+1)^{2}} \\\\(n+1)^{2} > 0\\\\Donc \ f'(n) < 0\\\\f(n) \ est \ strictement \ d\'ecroissante \ sur \ [0; +\infty[\\Donc \ (U_n) \ est \ d\'ecroissante.[/tex]
Méthode 3 : comparer le rapport [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] à 1
Propriété : (Un) définie pour tout n entier naturel à termes strictement positifs.
- Si [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n} \ge1[/tex], alors (Un) est croissante
- Si [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n} \le1[/tex], alors (Un) est décroissante
- Si [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n} =1[/tex], alors (Un) est constante
Exemple : Soit (Un) définie sur [tex]\mathbb N[/tex] telle que : [tex]U_n = \frac{5}{2^{n}}[/tex]
Démontrer les variations de (Un).
On sait que 5 > 0 et 2^n > 0 car n entier naturel
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{5}{2^{n+1}} }{\frac{5}{2^{n}}} \\\\\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{2^{n}}{2*2{n}} = \frac{1}{2} < 1\\\\Donc \ (U_n) \ est \ strictement \ d\'ecroissante \ \`a \ partir \ du \ rang \ n=0[/tex]
Espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.
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