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Bonjour pourriez vous m'aidez a cette exercice merci
On considère, dans un repère orthonormé, les points A(−2 ;−4); B(10 ;2);C (8 ;6)et D(−4 ;0)
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1. Montrer que ABCD est un parallélogramme.
2. a) Calculer les longueurs AC et BD.
b) En déduire la nature de ABCD.
3. Calculer les coordonnées du point d’intersection des diagonales de ABCD.

Sagot :

Bonjour :))

On considère, dans un repère orthonormé, les points A(-2; -4), B(10; 2), C(8; 6) et D(-4; 0).

1. Montrons que [AB] \\ et = [CD] :

[tex]\overrightarrow{AB} = (10-(-2); 2-(-4)) \ donc \ \overrightarrow{AB} = (12; 6)\\\\\overrightarrow{CD} = (-4-8; 0-6) \ donc \ \overrihgtarrow{CD} = (-12; -6)\\\\Calculons \ le \ d\'eterminant \ pour \ prouver \ la \ colin\'earit\'e :\\12*(-6)-(-12)*6=-72-(-72)=-72+72=0\\\\\overrightarrow{AB} \ et \ \overrightarrow{CD}\ sont \ colin\'eaires. \ Par \ cons\'equent, ils \ sont \ parall\`eles.\\\\V\'erifions \ leur \ longueur :[AB] = \sqrt{12^{2}+6^{2}} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\\\\[/tex]

[tex][CD] = \sqrt{(-12)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}[/tex]

CONCLUSION : ABCD est un parallélogramme.

2. a)Longueurs AC et BD

[tex]\overrightarrow{AC} = (8-(-2); 6-(-4))=(10;10)\\\overrightarrow{BD} = (-4-10; 0-2) = (-14; -2)\\\\Longueurs \ de \ [AC] \ et \ [BD] :\\\\[AC] = \sqrt{10^{2}+10^{2}} = \sqrt{200} = \sqrt{2*4*25} = 10\sqrt{2}\\\\[BD] = \sqrt{(-14)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\\\Les \ longueurs [AC] \ et [BD] \ sont \ les \ m\^emes.[/tex]

b.) Nature de ABCD

On en déduit que ABCD est un parallélogramme rectangle.

3). Coordonnées du point d'intersection des diagonales

[tex]Les \ diagonales \ sont \ [AC] \ et \ [BD].\\\\Point \ milieu \ de \ [AC] : (\frac{-2+8}{2} ; \frac{-4+6}{2}) = (3; 1)\\Point \ milieu \ de \ [BD] : (\frac{10+(-4)}{2} ; \frac{2+0}{2}) = (3; 1)[/tex]

Je te souhaite une bonne continuation :))

Bonne soirée ;)

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