Réponse :
1. a. Montrer que BI = BJ = a√5/2
triangle ABI rectangle en A ⇒ th.Pythagore BI² = AB² + AI²
⇔ BI² = a² + (a/2)²
= a² + a²/4
BI² = 5 a²/4 ⇒ BI = √(5 a²/4) = a√5/2
triangle BCJ rectangle en C ⇒ BJ² = BC² + CJ² = a² + (a/2)² = 5 a²/4
⇒ BJ = a√5/2
Donc BI = BJ = a√5/2
b. En déduire que vec(BI).vec(BJ) = 5/4) a² cos (IBJ)
le produit scalaire vec(BI).vec(BJ) = BI.BJ cos(IBJ)
⇔ vec(BI).vec(BJ) = a√5/2 x a√5/2 cos(IBJ)
= 5 a²/4) x cos(IBJ)
2) en décomposant les vecteurs BI et BJ montrer que vec(BI).vec(BJ) = a²
vec(BI) = vec(BA) + vec(AI) Relation de Chasles
vec(BJ) = vec(BC) + vec(CJ)
..............................................................
vec(BI).vec(BJ) = (vec(BA) + vec(AI)(vec(BC) + vec(CJ)
= vec(BA).vec(BC) + vec(BA).vec(CJ) + vec(AI).vec(BC) + vec(AI).vec(CJ)
= 0 + a²/2 + a²/2 + 0
donc vec(BI).vec(BJ) = a²/2 + a²/2 = 2 a²/2 = a²
3) en déduire l'angle ^IBJ au degré près
a² = 5/4) a² cos (IBJ) ⇒ cos (IBJ) = 4/5 ⇒ arc cos (4/5) ≈ 37°
Explications étape par étape :
