Bonjour, je suis bloqué sur un exercice qui est pourtant simple depuis près de 2 heures... Je suis actuellement en Terminale Générale.

Consigne :
En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. On note f(t) le nombre de ces ménages, en million, t années après 1980 (t>=0).
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E1):y'=0,022y(20-y).

1. a) On pose u=1/f. Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E2):y'=-0,44y+0,022.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E2).
c) En déduire m'ensemble des solutions de (E1).
d) Démontrer alors que la fonction f est définie sur l'intervalle [0;40] par f(t)=20/(1+1999e^-0,44t).

J'ai demandé de l'aide à mes parents ainsi qu'à ma grand mère mais personne n'a l'air de pouvoir m'aider...
Serait-il possible de m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

Question

Answered

Sagot :

CAYLUS CAYLUS · Answer 1 · 2021-04-29T12:31:03+02:00

Bonjour,

[tex]E_1: y'=0.022*y(20-y)\\\\y'-0.44*y=-0.022y^2\\[/tex]

Le polynôme du 2è membre en y est du second degré (p=2).

Ce type d'équation est de Bernoulli.

On pose z=y^(1-p)

z=y^-1=1/y

z'=-1/y² *y'

On a : -z'/z²-0.44*1/z=-0.022*1/z²

ou encore

1a) z'+0.44*z=0.022

1b)

L'équation homogène correspondante est z'+0.44*z=0

qui a pour solution z=e^(-0.44*t)*k

On va utiliser la méthode de le variation de la constante:

z'=-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)

L'équation générale devient:

z'+0.44*z=0.022

-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)+0.44*e^(-0.44*t)*k=0.022

k'=0.022 *e^(0.44*t)

k=0.022*e^(0.44*t)/0.44 +C

z=e^(-0.44*t)*k

Détermination de C:

si t=0 , y=10000 donc z=1/y=1/10000=k

1/10000=0.022/0.44+C

C=-0,0499.

J'espère que ceci peut t'aider et que je ne me suis pas trompé.