Bonjour :)
Tout d'abord, ce cours consistera à vous rappeler l'expression générale d'une suite géométrique au rang n puis sa formule de récurrence au rang (n+1). Par ailleurs, il s'agira également de vous proposer une démonstration détaillée de l'expression générale de (Vn) dans le cas d'une suite géométrique. Pour finir, deux études de cas seront données en vue de vous familiariser avec des exercices d'application.
- Généralités & vocabulaire
Définition : Une suite (Un) est la donnée d'une liste ordonnée de nombres notés U0, U1, U2....Un et appelées les termes de la suite (Un).
- n représente l'indice ou le rang des termes de la suite.
- U0 est le premier terme de la suite.
- Un (U "indice" n) est le terme général de la suite (Un).
- Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Définition : Une suite est dite géométrique dès lors que l'on peut déduire le terme suivant, à partir de chaque terme, en lui multipliant un facteur constant appelé raison q.
Soit (Vn) une suite géométrique de premier terme V0 et de raison q :
[tex]V_n = V_0 * q^{n} \ (Expression \ g\'en\'erale)\\\\V_{n+1} = V_n * q \ (Formule \ de \ r\'ecurrence)[/tex]
En utilisant la formule de récurrence, on peut ainsi proposer une manière de démontrer qu'une suite est géométrique ou non. En effet :
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} = q[/tex]
En effectuant ce calcul, si on trouve une constante réelle, cela permettra de confirmer que la suite (Vn) est géométrique.
- Démonstration de [tex]V_n = V_0 * q^{n}[/tex]
Admettons que (Vn) est une suite géométrique telle que U0 = 1, U1 = 4, U2 = 16. On remarque qu'en multipliant par 4 à chaque fois on en déduit le terme suivant. On a donc une suite géométrique de raison q = 4 et de premier terme V0 = 1.
[tex]V_0 = 1 \rightarrow (*4) \rightarrow V_1 = 4 \rightarrow (*4) \rightarrow V_2 = 16...etc[/tex]
Ce qui implique la formule de récurrence, le terme au rang supérieur (n+1) sera égal au terme au rang n * la raison q :
[tex]V_{n+1} = V_n * q[/tex]
Proposons un ensemble de valeurs qui vérifient cette relation de récurrence :
[tex]V_1 = V_0 * q\\V_2 = V_1 * q\\V_3 = V_1 * q\\\downarrow\\V_n = V_{n-1} * q[/tex]
Multiplions maintenant chaque terme de gauche entre eux et chaque terme de droite également entre eux. afin de vérifier l'égalité.
[tex]V_1 * V_2 * V_3 * ... * V_n = (V_0 * V_1 * V_2 * V_3 * ... * V_{n-1}) * q^{n}[/tex]
On remarque qu'il y a "n" lignes. Par conséquent, on élève la raison q à la puissance n. Cette raison est multipliée par elle même "n" fois donc "q^n". Ainsi, on constate que certain termes s'annulent, il nous reste :
[tex]V_n = V_0 * q^{n}[/tex]
Exemple 1 : Soit (Vn) la suite définie par : [tex]V_n = \frac{4}{3^{n+1}}[/tex] pour tout n entiers naturels. Démontrer que (Vn) est géométrique.
Méthode 1 : on transforme l'expression de manière à retrouver l'expression générale de Vn sous forme [tex]V_0 * q^{n}[/tex]
[tex]V_n = \frac{4}{3^{n+1}} = \frac{4}{3*3^{n}} = \frac{4}{3} * \frac{1}{3^{n}} = \frac{4}{3} * (\frac{1}{3})^{n}[/tex]
Conclusion : la suite (Vn) est une suite géométrique de premier terme 4/3 et de raison q = 1/3
Méthode 2 : on calcule le rapport [tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}[/tex]
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{\frac{4}{3^{n+2}}}{\frac{4}{3^{n+1}}}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n} = {\frac{4}{3^{n+2}} * \frac{3^{n+1}}{4} = \frac{3*3^{n}}{3*3*3^{n}}\\[/tex]
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{1}{3} \\\\V_0 = \frac{4}{3^{0+1}} = \frac{4}{3}[/tex]
Conclusion : la suite (Vn) est une suite géométrique de premier terme V0 = 4/3 et de raison q = 1/3.
Exemple 2 : Soit la suite (Un) définie par sa relation de récurrence comme U(n+1) = 4Un - 6 et U0 = 4 quelque soit n entier naturel à partir du rang 0. On pose Vn = Un - 2 pour tout n appartenant aux entiers naturels. Montrer que (Vn) est une suite géométrique.
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{(4U_n - 6)-2}{U_n-2} = \frac{4(U_n-2)}{U_n-2} = 4[/tex]
[tex]V_0 = U_0 - 2 = 4 - 2 = 2[/tex]
Conclusion : la suite (Vn) est géométrique de premier terme V0 = 2 et de raison q = 4.
Espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.
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