Bonsoir :))
On souhaite déterminer la fonction polynôme de degré 3 admettant que 5, 3 et -1 sont racines et f(6) = -42.
Un polynôme de degré 3 s'écrit :
[tex]ax^{3} + bx^{2} + cx + d[/tex]
Sa forme factorisée est :
[tex]a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\Avec \ x_1, x_2 \ et \ x_3 \ les\ solutions \ racines[/tex]
Par conséquent, notre polynôme est de la forme :
[tex]a(x-5)(x-3)(x+1)\\\\a(x^{2} - 8x + 15)(x+1)\\\\a(x^{3} + x^{2} -8x^{2} - 8x + 15x + 15)\\\\a(x^{3} -7x^{2} + 7x + 15)\\\\f(x) = a(x^{3} -7x^{2} + 7x + 15)\\\\f(6) = -42 \ \Leftrightarrow f(6) = a(216 - 252 + 42 + 15)\\\\f(6) = a(21) = -42[/tex]
[tex]a*21 = -42\\\\Donc \ a=-2[/tex]
Par conséquent, le polynôme de degré 3 est de la forme suivante :
[tex]f(x) = -2(x-5)(x-3)(x+1)[/tex]
Espérant t'avoir apporté les éléments nécessaires pour ta compréhension, je te souhaite bonne continuation.
Bonne soirée ;)
