Bonjour,
Tout d'abord il faut étudier le domaine de dérivabilité pour pouvoir ensuite calculer sa dérivée. On fera ensuite un tableau de signe de la dérivée pour en déduire les variations de f.
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie par [tex]f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}[/tex].
[tex]f[/tex] est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
[tex]f[/tex] est donc dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
[tex]\forall x\in\mathbb{R}: \\f'(x) = \frac{x^2 + 1 - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
Le signe de [tex]f'[/tex] est le même que le signe de [tex]x \mapsto 1 - x^2[/tex]
Or, [tex]1 -x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = - 1[/tex].
--------------------------------------------------------------------
Rappel: Une fonction du second degré (y = ax² + bx + c) est du signe de "a" sauf entre les racines.
--------------------------------------------------------------------
[tex]f'[/tex] est strictement négative sur [tex]]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[[/tex].
[tex]f'[/tex] est strictement positive sur [tex]]-1;1[[/tex].
--------------------------------------------------------------------
Rappel: Le nombre dérivé représente le coefficient directeur de la tangente un point de la courbe f donc la fonction dérivée de f qu'on note f' est l'ensemble des coefficients directeurs des tangentes à la courbe f.
Ainsi:
-Si f' < 0, la fonction f est décroissante.
-Si f' > 0, la fonction f est croissante.
-Si f' = 0, la fonction f est constante sur l'intervalle en question ou si c'est un point, on appelle ce point un point stationnaire, la courbe n'est ni croissante, ni décroissante.
--------------------------------------------------------------------
Donc,
[tex]f[/tex] est strictement décroissante sur [tex]]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[[/tex].
[tex]f[/tex] est strictement croissante sur [tex]]-1;1[[/tex].
On peut faire un tableau pour regrouper tous les résultats et calcul f(-1), f(1) et les limites à l'infini.
[tex]f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -0,5[/tex]
[tex]f(1) = 0,5[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = 0[/tex]
Voir ci-joint.
