Bonjour :)
Tout d'abord, ce cours consistera à vous rappeler l'expression générale d'une suite arithmétique au rang n puis sa formule de récurrence au rang (n+1). Par ailleurs, il s'agira également de vous proposer une démonstration détaillée de l'expression générale de (Un) dans le cas d'une suite arithmétique. Pour finir, deux études de cas seront données en vue de vous familiariser avec des exercices d'application.
- Généralités & vocabulaire
Définition : Une suite (Un) est la donnée d'une liste ordonnée de nombres notés U0, U1, U2....Un et appelées les termes de la suite (Un).
- n représente l'indice ou le rang des termes de la suite.
- U0 est le premier terme de la suite.
- Un (U "indice" n) est le terme général de la suite (Un).
- Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Définition : Une suite est dite arithmétique dès lors que l'on peut déduire le terme suivant, à partir de chaque terme, en lui ajoutant une constante appelée raison.
Soit (Un) une suite arithmétique de premier terme U0 et de raison r :
[tex]U_n = U_0 + nr \ (Expression \ g\'en\'erale)\\\\U_{n+1} = U_n + r \ (Formule \ de \ r\'ecurrence)[/tex]
En utilisant la formule de récurrence, on peut ainsi proposer une manière de vérifier qu'une suite est arithmétique ou non. En effet :
[tex]U_{n+1} - U_n = r[/tex]
En effectuant ce calcul, si on trouve une constante réelle, cela permettra de confirmer que la suite (Un) est arithmétique.
- Démonstration de [tex]U_n = U_0 + nr[/tex] :
Admettons que (Un) est une suite arithmétique et que U0 = 1 et U1 = 3. On s'aperçoit que l'on peut ajouter 2 pour déduire le terme suivant. On a donc une suite arithmétique de raison r = +2 et de premier terme U0 = 1.
[tex]U_0 = 1 \rightarrow (+2)\rightarrow U_1 = 3 \rightarrow (+2) \rightarrow U_2 = 5....etc[/tex]
Ce qui implique la formule de récurrence, le terme au rang supérieur sera égal au terme au rang n + la raison r :
[tex]U_{n+1} = U_n + r[/tex]
Proposons un ensemble de valeurs qui vérifient cette formule de récurrence :
[tex]U_1 = U_0 + r\\U_2 = U_1 + r\\U_3 = U_2 + r\\\downarrow\\U_n = U_{n-1} + r[/tex]
Assemblons dorénavant terme à terme. Additionnons les termes de gauche de l'égalité et les termes de droite de l'égalité :
[tex]U_1 + U_2 + U_3+ ... + U_n = (U_0 + U_1 + U_2 + ... + U_{n-1}) +nr[/tex]
Il y a "n" lignes, donc on additionne "n" fois le nombre r. C'est pourquoi, on a à droite de l'égalité "n * r".
On remarque qu'il est possible d'enlever des termes. Car certains termes sont à la fois à gauche et à droite. C'est le cas notamment pour U1, U2, ..., jusqu'à U(n-1). Ces nombres s'annulent, il nous reste donc :
[tex]U_n = U_0 + nr[/tex]
Exemple 1 : Soit (Un) une suite définie telle que Un = 7 -6n. Montrer que (Un) est arithmétique.
[tex]U_n = 7 - 6n\\U_{n+1} = 7 - 6(n+1) = 1 - 6n\\\\U_{n+1} - U_n = 1 - 6n - (7 - 6n)\\U_{n+1} - U_n = -6[/tex]
[tex]U_0 = 7 - 6*0 = 7[/tex]
Conclusion : (Un) est une suite arithmétique de raison r = -6 et de premier terme U0 = 7.
Exemple 2 : Soient les suites (Un) et (Vn) définies par :
[tex]\begin{cases}U_0 = 2\\\\U_{n+1} = \frac{5U_n - 1}{U_n + 3} \\\\V_n = \frac{1}{U_n - 1}\end{cases}[/tex]
Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.
[tex]V_{n+1} - V_n = \frac{1}{\frac{5U_n -1}{U_n + 3} - 1 } - \frac{1}{U_n - 1} \\\\V_{n+1} - V_n = \frac{1}{\frac{4U_n - 4}{U_n + 3}} - \frac{1}{U_n - 1}\\\\V_{n+1} - V_n = \frac{U_n+3}{4U_n-4} -\frac{4}{4U_n-4} \\\\V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - 1}{4(U_n - 1)} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]V_0 = \frac{1}{U_0 - 1} = \frac{1}{2-1} = 1[/tex]
Conclusion : la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison r = 1/4 et de premier terme V0 = 1
En espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation. :))
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