Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1a) AM=AI+IM par la relation de Chasles
Donc AM.AB=(AI+IM).AB=AI.AB+IM.AB
1b) Par définition du produit scalaire :
AI.AB=IIAIIIxIIABIIxcos(AI;AB)
I étant le milieu de AB, IIAIII=3 et (AI;AB)=0 donc cos(AI;AB)=1
D'ou AI.AB=3x6x1=18
1c) AM.AB=18 par hypothèse
Donc AI.AB+IM.AB=18 or AI.AB=18 donc IM.AB=0
IM et AB sont orthogonaux donc AIM est rectangle en I
2a) PAr construction, le projeté orthogonal, de M sur AB est I puisque AIM est rectangle en I.
2b) AM.AB=(AI+IM).AB=AI.AB+IM.AB
Or IM et AB sont orthogonaux puisque I est le projeté othogonal de M sur AB. Donc IM.AB=0
Donc AM.AB=AI.AB=3x6=18
3) Si AM.AB=18 alors AIM est rectangle en I.
Si AIM est rectangle en I alors AM.AB=18
Donc les 2 propositions sont équivalentes
