Bonsoir,
1) Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m
On sait que le triangle ADM est rectangle en A.
➡️ [AD] = 2 m et angle (ADM) = 60°
Nous pouvons donc utiliser les formules de trigonométrie.
• tan(ADM) = côté opposé / côté adjacent ⇔ tan(ADM) = AM / AD
• AM = tan(ADM) × AD ⇔ AM = tan(60) × 2 = 2√3 cm ≈ 3,46 m ✅
2) Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée
Calculons l'aire de la plaque qui n'est pas utilisée, c'est à dire A(MBNC)
On peut établir que :
➡️ A(MBNC) = A(ABCD) - A(AMND)
Or A(ABCD) = L × l (car c'est un rectangle) = 4 × 2 = 8 m²
et A(AMND) = L × l (car c'est un rectangle) = 2√3 × 2 = 4√3 m²
Remarque : 4√3 m² ≈ 6,93 m² (nous travaillons avec les valeurs exactes).
Il en vient que :
• A(MNBC) = 8 - 4√3 ≈ 1,07 m²
On peut alors maintenant calculer la proportion P de la plaque non utilisée :
➡️ P = aire non utilisée / aire totale = ( 8 - 4√3) / 8 ≈ 0,13397 ≈ 0,13
La proportion de la plaque non utilisée est d'environ 0,13 soit ≈ 13% ✅
3) Démontrer que les triangles AMD, PNM et PDN soient semblables
➡️ Rappel : Deux triangles sont semblables, si les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre.
Montrons tout d'abord que PNM et PDN sont semblables :
• angle (MPN) = angle (MND) = 90°; de plus, l'angle (DMN) est commun aux triangles PNM et PDN, ils ont donc deux paires d'angles égaux et sont donc semblables.
• D'autre part, comme on est dans un rectangle (AMND) :
→ angle (DAM) = angle (MND) = angle (MPN) = 90°
→ angle (ADM) = angle (DMN) commun aux triangles PNM et PDM = 60°
➡️ Les trois triangles AMD, PNM et PDN ont 3 angles égaux les uns des autres et nous pouvons en conclure qu'ils sont bel et bien semblables ✅
4) Est ce que le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD est plus petit que 1,5 ?
➡️ Pour calculer le coefficient d'agrandissement il faut calculer le rapport des valeurs des hypoténuses des triangles AMD et PDN.
• Coeff d'agrandissement = DM / DN
On sait que DN = 3,46 m, calculons DM.
D'après le théorème de Pythagore :
DM = √(DN² + NM²) = √(3,46² + 2²) ≈ 4 m
• Le coefficient d'agrandissement est de : 4/3,46 ≈ 1,16
➡️Il est bel et bien inférieur à 1,5 ✅
Bon courage et bonnes révisions !
