Bonjour je reformule ma question, est ce qu'on pourrait m'aider svp je n' arrive pas. On considère un triangle ABC et on appelle A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

a. Soit M le point défini par : vecteur OM = vecteur OA+ vecteur OB + vecteur OC
en utilisant la relation de Chasles, démontrer que vecteur AM = 2 vecteur OA' j'ai trouvé que AM=2 vecteur OA' + vecteur A'B + vecteur A'C mais comment justifier que vecteur A'B + vecteur A'C=0 ?

En déduire que le point M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A.
Démontrer que les points M et H sont confondus.

b. Démontrer que : vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC = 3 vecteur OG + (vecteur GA+ vecteur GB + vecteur GC)
puis que vecteur OA+ vecteur OB+ vecteur OC = 3 vecteur OG CELLE LA C'EST BON

c. Démontrer que vecteurs OH = 3 vecteur OG je n'y suis pas arrivé

Le point M appartient forcément à la hauteur du triangle car AM s'exprime en fonction de OA' qui est perpendiculaire à [BC]. Ainsi AM seras également perpendiculaire à [BC] et par définition AM passe par le point A donc AM appartient bien à la hauteur du triangle.

Pour montrer que M et H sont confondus, il suffit de montrer que AM et AH sont égaux. Je te laisse démonter ça.

b) Je ne détail pas cette question puisque tu l'as réussie.

On admet que OA+OB+OC=3OG

c) Résonnons par équivalence :

OA+OB+OC=3OG

⇔ OA+AM=3OG (car dans la question 1 on a AM=OB+OC)

⇔ OM=3OG

⇔ OH=3OG (car H et M sont confondus)