Bonjour
Tout d’abord, Il s’agira dans ce cours de démontrer la solution globale d’une équation différentielle de type y’ = ay + b. Pour terminer, deux exemples seront proposés afin de vous familiariser avec des études de cas que vous pouvez rencontrer lors d’un exercice ou d’un devoir noté.
Prérequis : COURS | https://nosdevoirs.fr/devoir/3744941
On note ([tex]E[/tex]) l’équation différentielle complète de type y’= ay + b est appelée équation différentielle linéaire de premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.
On note ([tex]E_0[/tex]) l'équation différentielle homogène y’ = ay associée à ([tex]E[/tex]) est appelée équation différentielle linéaire de premier ordre à coefficients constants.
Dans le cas où aucune condition particulière n’est posée, y’= ay + b admet une infinité de solutions.
Toute fonction de la forme [tex]f(x) = Ke^{ax} - \frac{b}{a}[/tex] est solution de l'équation complète y' = ay + b.
On définit une solution constante [tex]\phi(x)=\lambda[/tex] de ([tex]E[/tex]) où [tex]\lambda[/tex] est un réel. Cette fonction est dérivable sur [tex]\mathbb R\\[/tex] et [tex]x \in \mathbb R\\[/tex].
Ce qui signifie que [tex]\phi(x)[/tex] est solution de ([tex]E[/tex]) si, et seulement si, [tex]\phi'(x)=a\phi(x)+b[/tex]
[tex]0 = a\phi(x) + b = a\lambda +b\\\\\lambda = -\frac{b}{a}[/tex]
On peut ainsi définir une fonction constante : [tex]\phi(x) = -\frac{b}{a}[/tex]
Soit h(x) une fonction solution de l'équation complète y' = ay + b.
Montrons que [tex]\\h(x)-\phi(x)\\[/tex] est solution de ([tex]E_0[/tex]) :
[tex](h-\phi)'(x)=h'(x)-\phi'(x)=h'(x)-0\\\\(h-\phi)'(x)=ah(x)+b=a(h(x) + \frac{b}{a})\\\\(h-\phi)'(x)=a(h(x)-\phi(x))[/tex]
Il existe donc un réel K un réel [tex]\in \mathbb R[/tex] telle que [tex]\forall\ x \in \mathbb R\\[/tex] :
[tex]h(x)-\phi(x)=Ke^{ax}\\\\h(x)=Ke^{ax} + \phi(x)\\\\h(x) = Ke^{ax} - \frac{b}{a}[/tex]
Exemple 1 : on pose la fonction y définie sur [tex]\mathbb R\\[/tex] telle que y' = 2y + 4.
L'équation différentielle est du type y' = ay + b avec a = 2 et b = 4. On applique la formule vue au cours :
[tex]y(x) = Ke^{2x} - \frac{4}{2} \\\\y(x) = Ke^{2x} - 2[/tex]
Exemple 2 : on pose la fonction y définie sur [tex]\mathbb R\\[/tex] telle que 2y' + 7y = 11. On donne y(0) = 1/3
Il faut transformer l'équation différentielle de manière à se trouver dans un cas du type y' = ay + b.
[tex]2y' = -7y + 11\\\\y' = -\frac{7}{2}y + \frac{11}{2}[/tex]
Nous avons donc la bonne forme de l'équation avec :
[tex]a = -\frac{7}{2} \\\\b= \frac{11}{2}[/tex]
Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est donnée par :
[tex]y(x) = Ke^{-\frac{7}{2}x}+\frac{11}{7}[/tex]
Il est précisé dans l'énoncé que y(0) = 1/3. Nous pouvons donc trouver une solution exacte de y(x) :
[tex]y(0)=Ke^{-\frac{7}{2}*0} + \frac{11}{7}\\\\y(0)=Ke^{0}+\frac{11}{7} \\\\K+\frac{11}{7} = \frac{1}{3}\\\\K=-\frac{26}{21}[/tex]
Par conséquent, la solution exacte est :
[tex]y(x) = -\frac{26}{21} e^{-\frac{7}{2}x} + \frac{11}{7}[/tex]
En espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation.
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