Bonjour :)
Réponse :
1) a.
[tex]t=r(h)=h-1=\frac{g(1+h)-g(1)}{h-1} \\[/tex]
b.
[tex]\lim_{h \to 0} r(h) = \lim_{h \to 0} 1-h = 1\\\\g'(x) = -2x + 3\\\\g'(1) = -2 + 3 = 1[/tex]
c.
[tex]y = g'(1)(x-1)+g(1)\\\\y=1(x-1) + 4\\\\y=x+3[/tex]
d.
Voir pièces jointes :)
2)
[tex]h'(x) = \frac{-2}{(x-1)^{2}} \\\\ \lim_{h \to 0} \frac{2}{h-1} = -2\\\\h'(1) = -2[/tex]
Explications étape par étape :
1) a.
Le taux de variation t de la fonction f au point d'abscisse x est donné par la relation suivante :
[tex]t = \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h - x}[/tex]
Le taux de variation entre 1 et 1+h de la fonction g est :
[tex]\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \frac{g(1+h)-4}{h}\\\\g(1+h) = -(1+h)^{2} + 3(1+h) + 2\\\\g(1+h) = -(1 + 2h + h^{2}) + 3 + 3h + 2\\\\g(1+h) = -h^{2} + h + 4\\\\\frac{g(1+h)-4}{h} = \frac{-h^{2} + h + 4 - 4}{h}\\\\\frac{-h^{2}+h}{h} = \frac{h(h-1)}{h} = h-1\\\\t = r(h) = h - 1[/tex]
b.
Une fonction f est dérivable en x si la limite du taux de variation possède une limite finie quand h tend vers 0 telle que :
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)[/tex]
Montrons alors que la limite du taux de variation de g en x = 1 a une limite finie quand h tend vers 0 :
[tex]\lim_{h \to 0} 1-h=1=g'(1)[/tex]
Nous pouvons vérifier que g'(1) = 1 en calculant g'(x) :
[tex]g'(x) = -2x + 3\\\\g'(1) = -2 + 3 = 1[/tex]
c.
Une équation tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse x = a est exprimée par la relation suivante :
[tex]y = f'(a)(x - a) + f(a)[/tex]
Connaissant la valeur g'(1) et g(1), nous pouvons donc en déduire une équation tangente à la courbe Cg au point x = 1 :
[tex]y = g'(1)(x-1) +g(1)\\\\y = 1(x-1) + 4\\\\y = x + 3[/tex]
L'équation tangente à la courbe Cg au point x = 1 est donc y = x + 3
d. (Voir pièces jointes)
2)
Montrons que la limite du taux de variation de h(x) entre 0 et 0 + h possède une limite finie :
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{h(0+h)-h(0)}{h-0} \\\\ \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{h-1} -2}{h}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{2 + 2h - 2}{h(h-1)}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(h-1)}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{2}{h-1}=-2=h'(0)[/tex]
Vérifions par le calcul de h'(x) que h'(0) = -2. Rappelons tout d'abords, la dérivée usuelle (u/v)' puis calculons h'(x) et h'(0) :
[tex](\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} \\\\u=2\\u'=0\\v=x-1\\v'=1\\\\h'(x)=\frac{0(x-1)-2(1)}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}} \\\\h'(0) = \frac{-2}{(0-1)^{2}} =-2[/tex]
Espérant t'avoir apporté les explications nécessaires, je te souhaite une bonne continuation :)
Bonne journée :))
