Réponse :
soit f(x) = (17 - 5 x)/(2 x² + 6 x - 20)
1) trouver les valeurs de a et b pour que f(x) = a/(2 x - 4) + b/(x + 5)
f(x) = a/(2 x - 4) + b/(x + 5)
= [a(x + 5) + b(2 x - 4)]/(2 x - 4)(x + 5)
= (a x + 5 a + 2b x - 4b)/(2 x - 4)(x + 5)
= ((a + 2 b) x + (5 a - 4 b))/(2 x - 4)(x + 5)
donc {a + 2 b = - 5 ⇔ a = - 5 - 2b
{5 a - 4 b = 17 ⇔ 5(- 5 - 2 b) - 4 b = 17
⇔ - 25 - 10 b - 4 b = 17 ⇔ - 42 = 14 b ⇔ b = - 42/14 = - 3
a = - 5 - 2*(-3) = 1
donc f(x) = 1/(2 x - 4) + (- 3)/(x + 5)
2) en déduire une primitive de f
f est définie sur l'intervalle I = ]- ∞ ; - 5[U]2 ; + ∞[
La primitive de 1/(2 x - 4) avec u(x) = 2 x - 4 ⇒ u'(x) = 2
de la forme u'/u = 2/(2 x - 4)
il faut que f(x) soit de la forme u'/u
f(x) = 1/(2 x - 4) = 1 *2/2*(2 x - 4) = 1/2 * (2/(2 x - 4))
or la primitive de u'/u est ln u avec u > 0 ⇔ ⇔ 2 x - 4 > 0 ⇔ x > 2 ⇔ x ∈ ]2 ; + ∞[
donc la primitive est : 1/2 * ln (2 x - 4)
maintenant cherchons la primitive de - 3/(x + 5)
u(x) = x + 5 ⇒ u'(x) = 1 donc u'/u = 1/(x + 5)
- 3/(x+ 5) = - 3 * 1/(x + 5)
donc la primitive de - 3/(x + 5) est - 3 * ln (x + 5) avec x + 5 > 0 ⇔
x > - 5 ⇔ x ∈ ]- 5 ; + ∞[
finalement la primitive de f(x) est :
F(x) = 1/2 * ln (2 x - 4) - 3 ln (x + 5) pour tout x ∈ ]- 5 ; 2[U]2 ; + ∞[
Explications étape par étape :