Bonjour :)
Réponse :
Les équations réduites des tangentes horizontales à la courbe représentative de la fonction définie sur [tex]\mathbb R\\\\[/tex] par : [tex]g(x) = 4x^{3} - 21x^{2} + 18x + 2[/tex]
[tex]y1 = f(3) = -25\\\\y2 = f(\frac{1}{2}) = \frac{25}{4} = 6.25[/tex]
Explications étape par étape :
Une équation (T) tangente à une courbe Cf au point x = a et définie par une fonction f(x) est donnée par la formule suivante :
[tex]y = f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
Dans notre cas, nous souhaitons avoir les tangentes horizontales. Autrement dit, les tangentes qui ont une pente nulle à savoir un coefficient directeur nul. Il faut donc que f'(a) = 0.
Tout d'abords, dérivons g(x) :
[tex]g'(x) = 4*3x^{3-1} -21*2x^{2-1} + 18\\\\g'(x)= 12x^{2} - 42x + 18[/tex]
En connaissant g'(x), et sachant que nous avons besoin que f'(a) = 0. Il faut résoudre g'(x) = 0.
[tex]g'(x) = 12x^{2} - 42x + 18 = 0\\\\\Delta = b^{2} - 4ac = (-42)^{2} - 4 * 12 * 18\\\Delta = 900 > 0[/tex]
g'(x) admet deux solutions réelles distinctes telles que :
[tex]x1 = \frac{-b - \Delta}{2a} = \frac{1}{2} \\\\x2 = \frac{-b + \Delta}{2a} = 3[/tex]
Pour x = 1/2 et x = 3 on annule la fonction dérivée de g.
On conclut que les équations des tangentes horizontales à Cg sont :
[tex]y1 = g'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) + g(\frac{1}{2}) = g(\frac{1}{2}) = 6.25\\\\y2 = g'(3)(x-3) + g(3) = g(3) = -25[/tex]
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