Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
x ∈ [0;5]
2)
Tu mettras les flèches sur les vecteurs.
M en D , alors B se projette en A dans le produit scalaire et :
MA.MB=DA²=4
M en C , alors A se projette en B dans le produit scalaire et :
MA.MB=CB²=4
3)
a)
MA.MB=(MD+DA)(MC+CB)
MA.MB=MD.MC+MD.CB+DA.MC+DA.CB
MD.MC=-x(5-x) car les vecteurs MD et MC sont de sens contraire.
MD.CB=0 ( vecteur nul) car ces 2 vecteurs sont orthogonaux.
DA.MC=0 ( vecteur nul) car ces 2 vecteurs sont orthogonaux.
DA.CB=2*2=4 car (DA) // (CB)
Donc :
MA.MB=x²-5x+4
b)
(MA) ⊥ (MB) <==> MA.MB=0 soit :
x²-5x+4=0
Δ=(-5)²-4*1*4=9
√9=3
x1=(5-3)/2=1 et x2=(5+3)/2=4
On a donc 2 positions de M pour lesquelles (MA) ⊥ (MB).
c)
La fct f(x)=ax²+bx+c avec a > 0 passe par un minimum pour x=-b/2a.
Ici , MA.MB passera donc par un minimum pour :
x=5/2
M sera alors milieu de [DC].
4)
a)
Seul scalaire DA.CB change et vaut a². Donc :
MA.MB=x²-5x+a²
b)
Il faut que l'équation :
x²-5x+a²=0
ait au moins une solution.
Δ=(-5)²-4a²=25-4a²
Il faut Δ ≥ 0 donc :
25-4a² ≥ 0 soit :
4a² ≤ 25
a² ≤ 25/4
"a" est une mesure donc forcément positif.
La fct carrée est croissante sur [0;+∞] .
a² ≤ 25/4 donne :
a ≤ 5/2 avec a ≥ 0.
5)
On peut conjecturer qu'il faut que :
mesure BC ≤ mesure AB/2.
Soit mesure AB=b.
Alors on a :
MA.MB=-x(b-x)+a²
MA.MB=x²-bx+a²
Il faut que : x²-bx+a²=0 ait au moins une racine.
Δ=(-b)²-4a²=b²-4a²
Il faut b²-4a² ≥ 0 soit :
4a² ≤ b²
a² ≤ b²/4
"a" et "b" sont des mesures donc positifs.
La fct carrée est croissante sur [0;+∞] .
a² ≤ b²/4 donne donc :
a ≤ b/2 avec a et b > 0.
