on pose P(z)=z^3-(6+i)z^2+&z-13i , ou & est un nombre complexe.
1)calculer & pour que p(i)=0.
2)determiner les réels a et b tels que ,pour tout complexe z:
P(z)=(z-i)(z^2+az+b)
3)résoudre dans C l'équation P(z)=0
merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
1) P(z)=z^3-(6+i)z^2+&z-13i
P(i)=i^3-(6+i)i²+&i-13i=0
P(i)=-i+6+i+&i-13i=0
P(i)=6+&i-13i=0
P(i)=6+(&-13)i=0
soit &=a+bi
P(i)=6+(a+bi-13)i=0
P(i)=6+ai+bi²-13i=0
P(i)=6+ai-b-13i=0
P(i)=6-b-13i+ai=0
P(i)=(6-b)-(13-a)i=0
il faut : 6-b=0 b=6 et 13-a=0 a=13 &=13+6i
P(z)=z^3-(6+i)z^2+(13+6i)z-13i =
2) P(z)=(z-i)(z^2+az+b)
P(z) = z^3+az²+bz-z²i-azi-bi=
P(z) = z^3+z²(a-i)+z(b-ai)-bi=
P(z)=z^3-(6+i)z^2+(13+6i)z-13i =
par identification des 2 expressions :
(a-i)=-(6+i) -->a=-6
b-ai=13+6i --> b=13 a=-6
bi=13i --> b=13
Donc a=-6 et b=13
P(z)=(z-i)(z^2-6z+13)
3) P(z)=(z-i)(z^2-6z+13) = 0
(z-i)= 0 --> z1=i
(z^2-6z+13) = 0
delta = 36-4*13=36-52=-16=(4i)²
z2 = (6+4i)/2=3+2i
z3 = (6-4i)/2=3-2i
S= {3-2i ; 3+2i ; i }
J'espère que tu as compris
a+