Réponse :
Bonjour
On a u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6
On veut montrer que uₙ = 3 × 2ⁿ + 5n - 1
Initialisation
u₀ = 2
et 3 × 2⁰ + 5 × 0 - 1 = 3 - 1 = 2
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité
Si à un certain rang n on a uₙ = 3 × 2ₙ + 5n -1,
on cherchera à montrer que uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ +5(n +1) - 1 = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 5n + 4
uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6
⇔ uₙ₊₁ = 2(3 × 2ⁿ + 5n - 1) - 5n + 6 (par hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 10n - 2 - 5n + 6 = 3 × 2ⁿ⁺¹ - 5n + 4
Si la propriété est vraie au rang n , elle est vraie au rang n+ 1 , elle est donc héréditaire
Conclusion
La propriété est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.
Donc pour tout entier naturel n , uₙ = 3 × 2ₙ + 5n - 1
