Bonjour quelqu'un peut m'aider pour mon DM
Une entreprise fabrique en série des machines à café. Un
atelier produit 2,5 % de machines défectueuses. On prélève au
hasard, dans la production de l'atelier, un lot de 10 machines.
La production est suffisamment importante pour que ce pré-
lèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note X la
variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 10 machines,
associe le nombre de machines défectueuses.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Justifier la réponse.
2. Calculer la probabilité que le lot contienne exactement
deux machines défectueuses (le résultat est à arrondir à 10-3).

A chaque tirage, il y a deux issues possibles, et chaque tirage se fait avec remise de 10 machines leur probabilité est p = 0.025 et p⁻ = 1 - p = 1 - 0.025 = 0.975

on note la répétition de prélèvement de 10 fois (n = 10) qui est identique et indépendante (avec remise)

il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli, par conséquent la variable aléatoire X suit la loi Binomiale de paramètres n = 10 et p = 0.025

2) la loi binomiale est donnée par :

P(X = k) = (n ; k) x p^k(1 - p)^n-k

(n ; k) = Cn; k = n ! /k!(n - k) !

P(X = 2) = (10 ; 2) x (0.025)² x (0.975)¹⁰⁻²

C10; 2 = 10 !/2! x 8! = 10 x 9 x 8!/2! x 8! = 90/2 = 45

= 45 x 0.000625 x 0.817 ≈ 0.023

Explications étape par étape :