Sagot :
Réponse :
bonjour; on étudie la fonction g(x)=2x²/(x²+1)-ln(1+x²) sur [0;+oo]
Explications étape par étape :
1-a) limites
si x=0 g(x)=0
si x tend vers +oo, g(x) tend vers 2+(-oo)=-oo
1b)Dérivée g'(x)=[4x(x²+1)-2x(2x²]/(x²+1)²-2x/(x²+1)
on met au même dénominateur
g'(x)=[4x(x²+1)-2x(2x²)-2x(x²+1)]/(x²+1)²=(-2x³+2x)/(x²+1)²=2x(1-x²)/(x²+1)²
g'(x)=0pour x=0 et x=+1
1c)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x 0 1 +oo
g'(x)0 + 0 -
g(x) 0.........C.............2-ln2 ............D...............-oo
1d) On note que g(1)=2-ln2 valeur>0; g(+oo)=-oo et que g(x) est continue et monotone sur [1; +oo[, donc d'après le TVI il existe une et une seule valeur "alpha" sur l'intervalle [1; +oo[ telle que g(alpha)=0
on voit que g(1,5)=4,5/3,25-ln3,25 =0,2 et que g(2)=8/5-ln5=-0,009 on peut dire que alpha=2
2)Signes de g(x)
g(x) >0 pour x appartenant à [0;alpha[ ; gx)=0 pour x=0 et x=alpha; et g(x)<0 pour x appartenant à ]alpha;+oo[
