Réponse :
1) Montrer qu'une équation de la médiatrice du segment (MN) est :
4 x - 10 y + 5 = 0
soit le point A(x ; y) ∈ à la médiatrice de (MN)
et soit I milieu de (MN) ⇒ I(0 ; 1/2)
le produit scalaire vec(IA).vec(MN) = 0 ⇔ XX'+YY' = 0
vec(IA) = (x ; y - 1/2)
vec(MN) = (1+1 ; - 2 - 3) = (2 ; - 5)
XX' + YY' = 0 ⇔ 2 x + (-5 (y - 1/2) = 0 ⇔ 2 x - 5 y + 5/2 = 0
⇔ (4 x - 10 y + 5)/2 = 0 ⇔ 4 x - 10 y + 5 = 0
2) déterminer une équation de la médiatrice du segment (MP)
soit B(x ; y) ∈ à la médiatrice de (MP)
soit J le milieu du segment (MP) ⇒ J((5-1)/2 ; (3+3/2) = J(2 ; 3)
le produit scalaire vec(JB).vec(MP) = 0 ⇔ XX' + YY' = 0
vec(JB) = (x - 2 ; y - 3)
vec(MP) = (5+1 ; 3 - 3) = (6 ; 0)
XX'+YY' = 0 ⇔ 6(x - 2) + (y - 3)*0 = 0 ⇔ 6 x - 12 = 0 ⇔ 6(x - 2) = 0
⇔ x - 2 = 0
3) calculer les coordonnées de K point d'intersection de ces deux médiatrices
4 x - 10 y + 5 = 0 et x - 2 = 0 ⇔ x = 2
y = 4/10) x + 5/10 ⇔ y = 4/10)2 + 5/10 = 13/10
K(2 ; 13/10)
4) montrer que K appartient à la médiatrice du segment (NP)
soit C(x ; y) ∈ à la médiatrice de (NP)
soit F milieu de (NP) ⇒ F((5+1)/2 ; (-2+3)/2) = F(3 ; 1/2)
le produit scalaire vec(FC).vec(NP) = 0 ⇔ XX'+YY' = 0
vec(FC) = (x - 3 ; y - 1/2)
vec(NP) = (5-1 ; 3+2) = (4 ; 5)
XX'+YY' = 0 ⇔ 4(x - 3) + 5(y - 1/2) = 0 ⇔ 4 x - 12 + 5 y - 5/2 = 0
⇔ (8 x + 10 y - 29)/2 = 0 ⇔ 8 x + 10 y - 29 = 0
K(2 ; 13/10) ∈ à la médiatrice de (NP) ssi il vérifie l'équation
8*2 + 10*13/10 - 29 = 16 + 13 - 29 = 29 - 29 = 0 donc K ∈ à la médiatrice du segment (NP)
5) déterminer une équation du cercle de centre K passant par les points M , N et P
L'équation du cercle est : (x - 2)² + (y - 13/10)² = R²
R² = MK² = (2 + 1)² + (13/10 - 3)² = 3² + (- 17/10)² = 9 + 289/100 = 1189/100
donc l'équation du cercle est : (x - 2)² + (y - 13/10)² = 1189/100
on peut aussi l'écrire (x - 2)² + (y - 1.3)² = 11.89
Explications étape par étape :
