Bonsoir Victoire ;)
1. Résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solu- tion particulière g définie par la condition initiale g (0) = 100.
L'équation différentielle y' + 0,04y = 0,8 est de la forme y' + ay = b avec a = 0,04 et b = 0,8.
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur R par t -> ke -0,04t + 0,8/0,04 où k est un réel quelconque.
g(0) = 100 équivaut à :
ke⁰ + 0,8/0,04 = 100 <=> k + 20 = 100
<=> k = 80
g est la fonction définie pour tout réel t positif, par g(t) = 80e - 0,04t + 20
2. En utilisant l'expression de g(t) trouvée :
a) La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37 °C ?
g(30) = 80 × e - 0,04 × 30 + 20
≈ 44,1
En conclusion, la grand mère de Théo n'a pas bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37 ° C.
b) Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.
g(t) = 37 <=> 80e - 0,04t + 20 = 37
<=> e - 0,04t = 17/80
<=> ln(e - 0,04t) = In 17/80
<=> - 0,04t = In 0,2125
<=> t = - In0,2125/0,04
En conclusion, la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température est t = - In0,2125/0,04,soit environ 38,72 minutes. Ce qui donne arrondi à la seconde près, un temps de 38 minutes et 43 secondes.
Bonne soirée ;)