Réponse :
1) résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solution particulière g définie par la condition initiale g(0) = 100
(E) : y' + 0.04 y = 0.8
la solution g(t) = Ce^⁻at + b C ∈ R or a = 0.04 et b = 0.8/0.04 = 20
donc l'ensemble des solutions (S) est : g(t) = Ce^⁻0.04t + 20
g(0) = 100 ⇔ Ce^- 0.04*0 + 20 = 100 ⇔ Ce⁰ = 100 - 20 = 80
d'où C = 80
Donc g(t) = 80e^-0.04t + 20
2) en utilisant l'expression de g(t) trouvée à la question précédente
a) la grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37°C
g(t) = 80e^-0.04t + 20
g(30) = 80e^-0.04*30 + 20 ≈ 24.095 + 20 ≈ 44°
La réponse est non on trouve 44° environ pour un temps d'attente de 30 min
b) quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près
g(t) = 80e^-0.04t + 20 = 37.5° ⇔ 80e^-0.04t = 37.5 - 20
⇔ 80e^-0.04t = 17.5 ⇔ 80/e^ 0.04t = 17.5 ⇔ 17.5e^0.04t - 80 = 0
e^0.04t = 80/17.5 ⇔ lne^0.04t = ln(80/17.5) ⇔ 0.04t = ln(80/17.5)
d'où t = ln(80/17.5)/0.04 valeur exacte
t ≈ 40 min valeur arrondie à la seconde près
Explications étape par étape :
