Réponse : Bonjour!
EXERCICE 4 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f(x) = 6 − 5
x + 1.
Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un) définies par un premier terme positif ou nul u0 et
vérifiant pour tout entier naturel n :
un+1 = f(un).
1. Etude des propriétés de la fonction f
a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b) Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation f(x) = x.
On note α la solution.
c) Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f(x) appartient à l’intervalle [0 ; α].
De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α ; +∞[, alors f(x) appartient à
l’intervalle [α ; +∞[.
2. Etude de la suite (un) pour u0 = 0
Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :
un+1 = f(un) = 6 − 5
un + 1.
a) Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes d’équations y = x
et y = f(x).
Placer le point A0 de coordonnées (u0 ; 0) et, en utilisant ces courbes, construire à partir du
point A0 les points A1, A2, A3 et A4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1, u2, u3
et u4.
Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la
suite (un) ?
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 ! un ! un+1 ! α.
c) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
3. Etude des suites (un) selon les valeurs du réel positif ou nul u0
Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un) suivant les valeurs du
réel positif ou nul u0 ?
Explications étape par étape
J'espère que ça t'aidera!