Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Tu m'as demandé mon aide donc je regarde.
Mais à rendre pour ce mercredi après-midi , donc un peu tard !!
Et la question 2) dépasse mes compétences. Désolé !!
1)
a)
f(x)=x - a/x ==>la dérivée de 1/x est -1/x² donc :
f '(x)=1 + (a/x²)
On réduit au même dénominateur :
f ' (x)=(x²+a) /x²
b)
Pour a=1 :
f(x)=x - 1/x
f '(x)=(x²+1) / x²
Pour tout x≠0 , f(x) est > 0.
x-------->-∞....................0....................+∞
f '(x)---->..............+........||........+....................
f (x)----->............C.........||.........C............
C=flèche qui monte.
Pour a=-1 :
f(x)=x + 1/x
f '(x)=(x²-1) / x²
f '(x) est du signe de (x²-1) qui est < 0 entre les racines car le coeff de x² est positif.
x²-1=0 donne : x=-1 ou x=1
x---------->-∞...............-1..................0...............1..................+∞
f '(x)------>............+.......0.......-........||.....-.........0......+.....
f(x)------->............C.......-2........D....||....D........2.......C.............
c)
f '(x)=(x²+a) / x²
Sur ]0;+∞[ , il faut donc :
x²+a >
Sur ]0;+∞[ , le terme x² est positif .
On aura (x²+a) > 0 si a ≥ 0
Il faut donc a ∈ [0;+∞[
On a d'ailleurs vu que si a = - 1, alors f(x) n'est pas strictement croissante sur ]0;+∞[
Voir graph pour 1)b)
