Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
On va travailler avec les vecteurs donc tu mettras les flèches que je ne mets pas.
Dans le repère (A,AB,AD) , l'axe des abscisses est (AB) et celui des ordonnées est (AD).
On a dans ce repère :
A(0;0)
B(1;0)
C(1;1)
D(0;1)
I(0;1/5
J(1;3/5)
M(x;1)
OK ?
Donc les vecteurs :
IJ(1-0;3/5-1/5) ==>IJ(1;2/5)
BM(x-1;1-0) ==>BM(x-1;1)
Deux vecteurs u(x;y) et u'(x';y') sont orthogonaux si et seulement si :
u.u'=0 soit :
xx'+yy'=0
Ce qui donne pour IJ et BM :
(x-1)+2/5=0
x=1-2/5
x=3/5
Donc M(3/5;1)
On constate que le point M est en fait le point K de la question 2).
2)
a)
On va vérifier si les vecteurs IK et JK sont ou ne sont pas orthogonaux.
On a donc K(3/5;1)
IK(3/5-0;1-1/5) ==>IK(3/5;4/5)
JK(3/5-1;1-3/5) ==>JK(-2/5;2/5)
On applique : xx'+yy'=0.
(3/5)(-2/5)+(4/5)(2/5)=-6/25+8/25=2/25 ≠ 0
Le triangle IJK n'est donc pas rectangle en k.
Il ne semble pas nécessaire de vérifier s'il est ou non rectangle en J puisqu'on demande da calculer ^IJK au c).
b)
On a vu que :
IJ(1;2/5)
Donc IJ²=1²+(2/5)²=1+4/25=29/25
Mesure IJ=(√29)/5
c)
Il faut le mesure JK .
J(1;3/5)
K(3/5;1)
vect JK(-2/5;2/5)
JK²=(-2/5)²+(2/5)²=8/25
JK=(√8)/5
JK=(2√2)/5
On va calculer de 2 manières : scalaire JI.JK.
JI(-1;-2/5)
JK(-2/5;2/5)
On applique . JI.JK=xx'+yy' qui donne :
Ji.JK=(-1)(-2/5)+(-2/5)(2/5)=2/5-4/25=10/25-4/25=
JI.JK=6/25
Par ailleurs :
JI.JK=|| JI || x ||JK|| x cos IJK=(√29)/5 x (2√2)/5 x cos IJK
Donc :
cos IJK=(6/25) /[ (√29)/5 x (2√2)/5]
cos IJK=(6 x 25 ) / [25 x 2√(29x2)]
cos IJK=3/√(28)
^IJK ≈ 66.8°
Compatible avec ma figure.
3)
On sait que :
(BK) ⊥ (IJ)
Et que :
(DL) // (BK)
Donc :
(DL) ⊥ (IJ).
Scalaire UJ.DK :
1ère manière :
H est le projeté orthogonal de D sur (IJ) et H est le le projeté orthogonal de K sur (IJ) , donc :
IJ.DK=IJ.LH
2ème manière :
vect IJ(1;2/5)
vect DK(3/5;0)
Scalaire IJ.DK=xx'+yy'=3/5+0=3/5
Donc :
IJ.LH=3/5
Ces 2 vecteurs sont colinéaires donc on arrive à :
|| IJ || x || LH || =3/5
Et avec mesure IJ=√29/5,
Mesure LH=(3/5) / [(√29)/5]
Mesure LH=3/√29 = (3√29)/29
Mesure LH ≈ 0.557 unité.
Comme j'ai pris comme côté du carré 5 cm , 0.557 unité font :
5 x 0.557 ≈ 2.8 cm sur ma figure.
A peu près compatible avec ma figure!!
