Bonjour, je bloque sur un exercice de mathématiques, un petit coup de pouce me ferait vraiment plaisir !
Enoncé :
ABCD est un trapèze de bases [DC] et [AB]. Les droites (AC) et (BD) se coupent en I, les doites (AD) et (BC) se coupent en O. Démontrer que la droite (OI) coupe les segements [AB]et [DC] en leur milieu.
Je suis parti en exploitant le théorème de Thalès mais ne suis pas sûr d'être sur la bonne voie. Soit K le point d'intersection entre (AB) et (OI) et L le point d'intersection entre (DC) et (OI) D'après Thalès, dans les triangles ODL et OAK, on a : OD/OA = OL/OK = DL/AK Dans OKB et OLC, on a : OL/OK = OC/OB = LC/KB On observe que DL/AK = OL/OK et que LC/KB = OL/OK donc DL/AK = LC/KB
Je sais que je suis loin du but mais je reste bloqué à ce niveau là.
repère (A,B,D)
A(0,0)
B(1,0)
D(0,1)
C(a,1)
c'est exact
(AB) : y=0
(AC) : x=ay
(AD) : x=0
(BD) : x+y=1
(BC) : (x=y(a-1)+1
O : (0,1/(1-a))
I : (a/(1-a),1/(1+a))
(OI) : 2x=y(a-1)+1
M : (1/2,0)
N : (a/2,1)
Mais si tu avais choisi le repère (O,A,B)
O(0,0)
A(1,0)
B(0,1)
C(0,a)
D(a,0) <== Thalès
(OA) : y=0
(OB) : x=0
(BD) : x+ay=a
(AC) : ax+y=a
I : (a/(1+a), a/(1+a))
(OI) : x=y
(AB) : x+y=1
(CD) : x+y=a
M : (1/2,1/2)
N(a/2,a/2)
les calculs sont plus faciles.
Tu as donc démontré que les rapports DL/LC et AK/KB sont égaux.
Mais ce n'est pas la meilleure piste, en effet.
ce qui se passe c'est que le parallelogramme construit sur IAB a son centre en K et que le quatrieme sommet de ce //logramme est nécessairement sur OI d'après Thalés. De mêm pour celui que tu peux construire sur IDC, dont le centre est en L, et donc le 4eme sommet se trouve sur OI lui aussi.