Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = Ln (1 + e^x) sur IR
■ Lim f(x) pour x --> -∞ :
Lim f(x) = Lim Ln1 = 0
la courbe admet une asymptote horizontale
à gauche (confondue avec l' axe des abscisses)
■ Lim f(x) pour x --> +∞ :
Lim f(x) = Lim Ln(e^x) = Lim x = +∞
la courbe admet une asymptote oblique
à droite d' équation ( y = x )
■ dérivée f ' (x) :
f ' (x) = (e^x) / (1 + e^x) toujours positive !
■ tableau :
x --> -∞ -1 0 10 +∞
variation -> croissante
f(x) --> 0 0,3 Ln2 10 +∞
■ f(x) = m positif admet bien une solution UNIQUE
puisque la fonction f est STRICTEMENT croissante sur IR .
■ Tangente au point (0 ; Ln2) :
f ' (0) = 1/2 = 0,5
donc l' équation de la Tangente est :
y = 0,5x + Ln2 .
qui passe par les points (0;Ln2) et (10 ; 5,7)
■ courbe Cf au-dessus de la droite ( y = x ) ?
f(x) > x donne Ln (1 + e^x) > x
1 + e^x > e^x
1 > 0
cette inégalité est toujours vraie
donc Cf est bien au-dessus de la droite ( y = x ) .
■ remarque pour x = 25,5 :
f(25,5) ≈ 25,5
