Réponse :
Bonjour,
Avant tout, mieux vaut établir un schéma comme dans la pièce-jointe.
Soit ABC le nom du triangle équilatéral.
On sait qu'un triangle équilatéral possède 3 côtés de même longueur.
D'où AB = BC = AC = a
Les hauteurs d'un triangle équilatéral coincident avec leur médiatrice (qui passe perpendiculairement par le milieu d'un côté).
On notera I le point d'intersection de la hauteur issue de B avec AC.
On obtient alors le triangle ABI rectangle en I tel que:
- [tex]AC = \dfrac{a}{2}[/tex]
D'après le théorème de Pythagore:
[tex]AB^2 = BI^2 + AI^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = AB^2 - AI^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{4a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}\\\\\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{3a^2}{4}[/tex]
Et comme BI est une longueur, alors elle est positive.
[tex]BI = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{a^2} }{\sqrt{4}} = \dfrac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
