Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
f '(x)=2x+1-1/x²
On réduit au même dénominateur :
f '(x)=(2x³+x²-1) / x²
f '(x)=g(x) / x²
2)
a)
g '(x)=6x²+2x
g '(x) est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.
g '(x)=2x(3x+1)
Racines : x=0 et x=-1/3
x-------->-∞....................-1/3.................0..................+∞
g '(x)---->...........+............0............-.......0.........+......
g (x)---->-∞...........C.........?............D......-1......C..........+∞
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
g(-1/3) ≈ -0.963
b)
D'après ce tableau sur ]-∞;0] , g(x) est continue et reste dans les valeurs négatives . Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il n'existe pas de valeur α telle que g(α)=0.
Sur [0;+∞[ , g(x) est continue et strictement croissante donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que g(α)=0.
g(0)=-1 et g(1)=2 donc :
-0 < α < 1
c)
x------>-∞.................................α........................+∞
g(x)--->...............-....................0............+..............
3)
f '(x)=g(x)/x² donc f '(x) est du signe de g(x).
x------->-∞..........................0.......................α......................+∞
f '(x)--->.............-...........................-.............0.........+.............
f(x)---->............D...............||...........D.........f(α).......C..........
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
4)
a)
I(-1;-1) et J(1;3)
b)
(IJ) a pour équa : y=ax+b avec a=(3-(-1)) / (1-(-1))=2
y=2x+b qui passe par J(1;3) donc on peut écrire :
3=2*1+b ==>b=1
(IJ) ==> y=2x+1
Equation de la tgte en J :
y=f '(1)(x-1)+f(1)
f '(1)=2 et f(1)=3
y=2(x-1)+3
Tangente : y=2x+1
On a bien les mêmes équations.
c)
Tgte en I :
y=f '(-1)(x+1)+f(-1)
f '(-1)=-2 et f(-1)=-1
y=-2(x+1)-1
y=-2x-3
d)
Voir graph joint.
