Bjr, si je résume nous avons deux suites définies par
[tex]u_0=v_0=1\\\\u_{n+1}=u_n+v_n\\\\v_{n+1}=2u_n+v_n[/tex]
pour tout n entier non nul
et nous avons pour tout n
[tex]u_n>0\\\\v_n>0\\\\v_n \geq 1[/tex]
et nous voulons démontrer par récurrence que
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_{n} \geq n+1[/tex]
Initialisation
C'est vrai au rang 0 car
[tex]u_0 =1 \geq 0+1=1[/tex]
Hérédité
Prenons p un entier non nul quelconque et supposons que cela soit vrai au rang p, donc
[tex]u_{p} \geq p+1[/tex]
Comme [tex]v_p \geq 1[/tex], nous avons
[tex]u_{p+1}=u_{p}+v_{p} \geq u_{p}+1[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence, cela donne
[tex]u_{p+1}=u_{p}+v_{p} \geq u_{p}+1 \geq (p+1)+1[/tex]
donc c'est vrai au rang p+1
Conclusion
Nous venons de démontrer par récurrence que
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_{n} \geq n+1[/tex]
Merci