Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Partie B :
1)
f(x)=(x+2)exp(-x)
Une exponentielle est tjrs ≠ 0 donc f(x)=0 donne :
x+2=0 soit x=2 , seule solution de f(x)=0.
2)
f(x) est de la forme u*v avec :
u=x+2 donc u'=1
v=exp(-x) donc u'=-exp(-x)
f '(x)=u'v+uv'=exp(-x)-(x+2)exp(-x)
f '(x)=exp(-x)[1-(x+2))
f '(x)=exp(-x)(-x-1)
f '(0)=exp(0)*(-1)=1*(-1)=-1 ==>coeff directeur de la tgte en x=0.
f '(-1)=exp(1)*0=0 ===>tgte horizontale en x=-1.
3)
Une exponentielle est tjrs > 0 donc f '(x) est du signe de (-x-1).
-x-1 > 0 ==> x < -1
Variation :
x------->-∞.......................-1........................+∞
f '(x)---->..........+..............0........-.............
f(x)---->..........C................e.........D............
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
f(-1)=(-1+2)exp(1)=exp(1)=e
On a donc :
f(x)=(x+2)exp(-x) et f(x)=0 pour x=-2.
L'exponentielle est tjrs > 0.
Quand x < - 2 , le facteur (x+2) est < 0 .
Quand x > -2 , le facteur (x+2) est > 0.
Tableau de signes :
x------------>-∞.................-2..................+∞
f(x)------->.............-...........0........+..........
