Bonjour, je n'arrive pas à faire mon DM et je suis bloquer. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?





Soif f la fonction définie sur R par
[tex]f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1[/tex]
Dans un repère du plan, on appelle :

. Cf la courbe représentative de la fonction f
. A le point de Cf d'abscisse -1

1) Démontrer que la fonction f est dérivable en tout réel a et que f'(a)
[tex]f.(a)= - 3a^{2} + 6a[/tex]
2) Justifier que Cf admet exactement deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses en presicant les coordonnées des points de tangence. Tracer ces tangentes sur le graphique.

3) a- Déterminer l'équation réduite de la tangente T-1 à Cf au point A. Tracer T-1 sur le graphique.

b- En quel point la courbe Cf admet elle une tangente parallèle à T-1 ? Préciser les coordonnés de ce point puis tracer cette tangente sur le graphique.

4) a- Démontrer que, pour tout réel a, la tangente Ta à Cf au point d'abscisse à admet pour équation réduite :
[tex]y = ( - 3a^{2} + 6a)x + 2a^{3} - 3a ^{2} + 1[/tex]
b- Démontrer que, pour tout réel a, on a :
[tex]2a ^{3}- 3a^{2} + 1 = (a - 1)^{2} (2a + 1)[/tex]
c- justifier alors que la tangente Ta passe par l'origine du repère si été seulement si
[tex](a - 1)^{2} (2a + 1) = 0[/tex]
d- En déduire les coordonnées des points en lesquels la tangente passe par l'origine du repère puis tracer ces tangentes sur le graphique.

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