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Bonsoir, je suis en Seconde général et j'ai un exercice auquel je ne comprend rien. Cela fait 3j que j'essaye en vain même avec l'aide de mes parents qui ne comprenne pas non plus car pas assez bon en math. Aidez-moi s'il vous plaît.
L'exercice est le suivant : Projeté orthogonal sur une droite
Dans un repère orthonormé, on considère les points :
A (2 ; 5), B (-2 ; 1) et C (6 ; -1)
On note H (x ; y) le projeté orthogonal du point C sur
la droite (AB).
Sachant que les points A, B et H sont alignés,
démontrer que y = x +3.
Exprimer la longueur AH en fonction de x et y.
b. Démontrer que AH² = 2x² — 8x +8
c. Exprimer HC² en fonction de x.
d. En utilisant la nature du triangle AHC, démontrer
que : 4x²- 12x +8= 0

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel,
on obtient le résultats ci-dessous.
f(x) = 4x² - 12x + 8
En déduire les coordonnées du point H.
4. L'aire du triangle ABC est-elle entière ?

Sagot :

Réponse :

Bonsoir , attention quand tu recopies un énoncé .On ne peut pas l'abréger si on n'a pas compris. Et un peu de réflexion est plus utile qu'un logiciel.  

Explications étape par étape

première méthode:

Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) , (CH) perpendiculaire (AB)

l'équation de (AB) est y=x+3

l'équation de (CH) est y=a'x+b'   avec a'=-1  car (CH) perpendiculaire (AB)

cette droite (CH) passe par C donc -1=-1*6+b    donc b=5

Equation de (CH) y=-x+5

H étant l'intersection de (AB) et (CH) , xH est la solution de x+3=-x+5 soit x=1

si xH=1 , yH=1*1+3=4  

Coordonnées de H(1;4) tu peux le vérifier sur le repère

Calcul de CH=V[(xC-xH)²+(yC-yH)²]=5V2 ul

Aire du triangle ABC=AB*CH/2

on connaît CH calculons AB

AB=V[(xA-xB)²+(yA-yB)²]=4V2 ul

Aire (ABC)=(4V2)*(5V2)/2=20 ua

2eme méthode  pour calculer CH

Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) la distance CH est minimale

Le point H, appartenant à la droite AB, a pour coordonnées x et  y avec y=x+3

donc CH²=(xH-xC)²+(yH-yC)²

CH²=(x-6)²+(x+3+1)²=x²-12x+36+x²+8x+16=2x²-4x+52

CH²=2(x²-2x+26)=2[(x-1)²-1+26]=2[(x-1)²+25]

CH est minimale si CH²= 2(x-1)²+50 est minimale donc si x=1 et dans ce cas CH=V50=5V2