Explications étape par étape:
1)
[tex] \sqrt{ {x}^{2} + 1 } > \sqrt{ {x}^{2} } = |x| \\ \sqrt{ {x}^{2} + 1 - |x| } > |x| - |x| = 0[/tex]
donc A>0
[tex] \sqrt{ {x}^{2} + 1} > \sqrt{ {x}^{2} } = |x| \\ \sqrt{ {x }^{2} + 1 } + |x | > |x| + |x| = 2 |x| [/tex]
donc B>2|x|
2)
A*B =
[tex]( \sqrt{ {x}^{2} + 1 } - |x| )( \sqrt{ {x}^{2} + 1} + |x| ) = \\ { \sqrt{ {x}^{2} + 1 } }^{2} - { |x| }^{2} = \\ {x}^{2} + 1 - {x }^{2} = 1[/tex]
donc A=1/B
or B>2|x|
donc A<1/(2|x|)
3)
A>0
et A<1/(2|x|)
donc
[tex]0 < \sqrt{ {x}^{2} + 1} - |x| < \frac{1}{2 |x| } \\ |x| < \sqrt{ {x}^{2} + 1} < |x| + \frac{1}{2 |x| } [/tex]
4)
Pour x=11
[tex] |11| < \sqrt{ {11}^{2} + 1} < |11| + \frac{1}{2 |11| } \\ 11 < \sqrt{121 + 1} < 11 + \frac{1}{22} \\ 11 < \sqrt{122} < 11 + \frac{1}{22} \\ \frac{11}{3} < \frac{ \sqrt{122} }{3} < \frac{11}{3} + \frac{1}{66} [/tex]
