Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
Pour résoudre une équation trigonométrique, il suffit d'avoir le même nombre trigonométrique dans le membre de gauche et dans le membre de droite.
Quand c'est le cas, on fait une égalité entre les arguments
1) Transformer le membre de droite par sin(quelque chose)
[tex]\frac{1}{2}=sin(\frac{\pi}{6} + 2.k.\pi )[/tex] ou [tex]\frac{1}{2} = sin(\frac{5\pi }{6} + 2 k\pi )[/tex]
Tu remarqueras certainement le [tex]2k\pi[/tex], k est un nombre entier qui permet d'ajouter (ou retirer) des tours de cercle trigonométrique.
Commençons par la première possibilité, on aura donc :
[tex]sin(3x) = sin(\frac{\pi }{6} + 2k\pi )[/tex]
<=> [tex]3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi[/tex]
<=> [tex]x = \frac{\pi }{18} + \frac{2k\pi }{3}[/tex]
<=> [tex]x = \frac{\pi }{18}[/tex] ou [tex]x = \frac{\pi }{18} + \frac{2\pi }{3} = \frac{\pi }{18} + \frac{12\pi }{18} = \frac{13\pi }{18}[/tex] ou [tex]x = \frac{\pi }{18} - \frac{2\pi }{3} = \frac{\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}=\frac{-11\pi }{18}[/tex]
Si on considère la deuxième possibilité, on aura donc :
[tex]sin(3x) = sin(\frac{5\pi }{6} +2k\pi )[/tex]
<=> [tex]3x = \frac{5\pi }{6}+2k\pi[/tex]
<=> [tex]x = \frac{5\pi }{18} + \frac{2k\pi }{3}[/tex]
<=> [tex]x = \frac{5\pi }{18}[/tex] ou [tex]x=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi }{3} = \frac{5\pi }{18}+\frac{12\pi }{18} = \frac{17\pi }{18}[/tex] ou [tex]x = \frac{5\pi }{18} - \frac{2\pi }{3} = \frac{5\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}=\frac{-7\pi }{18}[/tex]
Solution : {[tex]\frac{-11\pi }{18} ; \frac{-7\pi }{18} ; \frac{\pi }{18} ; \frac{5\pi }{18} ; \frac{13\pi }{18} ; \frac{17\pi }{18}[/tex]}
J'espère que cette réponse t'aura été utile ;)