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Bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide pour mon dm de maths alors si vous pouviez m'aider je vous en serez vraiment reconnaissant
Partie A
Solt P(x) = x3 + x 2-x-1
1. Justifier qu'il existe des réels a, b et c avec a différent de 0, tels que:
P(x) = (x - 1)(ax2+ bx+c)
2. Déterminer les réels a, b et c.

Partie B
1. Soit f la fonction définie sur R par f :x -> 1/(1-x+x2)
et soit Cf, sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(o,i, j) du plan.
1. Montrer que f est dérivable sur R et déterminer f'(x)
pour tout réel x
2. Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau
de variations.
3.a) Démontrer que la tangente Ta à la courbe Cf , au point A d'abscisse -1 a pour équation y =1/3 x+2/3. Et à l'aide de la partie A, étudier la position relative de la droite Ta et de la courbe Cf
b) Déterminer l'équation de la tangente Tb, à la courbe Cf,
au point B d'abscisse 0 , et étudier la position relative de Ta
et Cf
c) Placer dans le repère les points A et B et tracer les
tangentes Ta, et Tb.
4. De la même façon déterminer les équations des tangentes
à la courbe Cf, aux points C et D d'abscisses respectives 1
et 2, puis tracer les.
5. Construire la courbe Cf​

Sagot :

BERNIE76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Partie A :

1)

x=1 est racine de P(x)=0 car P(1)=1³+1²-1-1=0

Donc on peut mettre (x-1) en facteur dans : x³+x²-x-1 , ce qui donne :

P(x)=(x-1)(ax²+bx+c)

avec a ≠ 0

2)

Tu développes (x-1)(ax²+bx+c) et à la fin , tu trouves :

P(x)=(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c

Par identification du membre de droite avec : P(x)=x³+x²-x-1

Il faut :

a=1

b-a=1 ==> b=1+a

b=2

c-b=-1 ==> c=-1+b

c=-1+2=1

-c=-1

c=1

Donc :

P(x)=(x-1)(x²+2x+1)

Partie B :

1)

f(x)=1/(1-x+x²)

Cherchons s'il existe une ou des valeurs qui annulent le dénominateur.

x²-x+1

Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(1)= -3 < 0

Pas de racines donc : x²-x+1 est toujours > 0 car le coeff de x² est > 0.

f(x) est définie sur IR et  donc dérivable sur IR comme inverse d'une fct carrée dérivable sur IR.

La dérivée de 1/u est -u'/u².

Ici  u=1-x+x² donc u'=2x-1

f '(x)=-(2x-1)/(1-x+x²)²

f '(x)=(1-2x) / (1-x+x²)²

2)

f '(x) est donc du signe de : 1-2x

1-2x  > 0 ==> x <  1/2

Variation :

x----------->-∞..............................1/2..........................+∞

f '(x)------>................+..................0.............-.................

f(x)-------->...............C.................4/3.............D.................

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend .

f(1/2)=4/3

3)

a)

Ta ==> y=f '(-1)(x-(-1)) + f(1)

f '(-1)=(1+2) / (1+1+1)²=1/3

f(-1)=1/(1+1+1)=1/3

Ta ==> y=(1/3)(x+1)+1/3

y=(1/3)x+1/3+1/3

y=(1/3)x+2/3

Position de Ta par rapport à Cf .

On étudie le signe de h(x)= f(x)-[(1/3)x+2/3]

h(x)=1 /(1-x+x²) - [(1/3)x+2/3)

On réduit au même dénominateur :

h(x)=[1 - (1/3)(x+2)(1-x+x²)] /(1-x+x²)

h(x)=[1 - (1/3)(x³+x²-x+2)] / (1-x+x²)

h(x)=[(3-x³-x²+x-2)/3] / (1-x+x²)

h(x)=(-x³-x²+x+1) / 3(1-x+x²)

h(x)=(x³+x²-x-1) / -3(1-x+x²)

h(x)=P(x) / -3(1-x+x²)

On a vu que : 1-x+x² est toujours > 0

Donc h(x) est du signe  de P(x)/-3.

P(x)=(x-1)(x²+2x+1)

x²+2x+1=(x+1)² qui est toujours ≥ 0 ( nul pour x=-1).

Donc P(x) est du signe de (x-1)/-3 donc du signe de (1-x)/3 donc du signe de (1-x).

1-x > 0 ==> x < 1

Donc sur ]-∞;1] , h(x) ≥ 0 et Cf au-dessus de Ta ( point de tangence en x=-1

Et sur [1;+∞[ , h(x) ≤ 0 et Cf au-dessous de Ta.

b)

f '(0)=1/1²=1 et f(0)=1/1=1

Tb ==> y=x+1

Position de Cf et Tb :

h(x)=1/(1-x+x²) - (x+1)

h(x)=[1 - (x+1)(1-x+x²) ] / (1-x+x²)

h(x)=([1-(x³+1)] / (1-x+x²)

h(x)=-x³ / (1-x+x²)

1-x+x² est tjrs >  0 .

Donc h(x) du signe de -x³.

Sur ]-∞;0] , h(x) est donc >  0 et Cf au-dessus de Tb.

Et sur [0;+∞[ , Cf au-dessous de Tb.

4)

Je te laisse terminer . C'est facile . Mais voici les réponses à trouver:

En C : Tc ===>y=-x+2

En D : Td ==>y=-(1/3)x+1

Voir graph.

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