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Bonjour, je n'arrive pas à répondre à la 2ème question. Pouvez-vous m'aider ? On se propose de déterminer toutes les fonctions f, définies sur R, qui sont solutions de l'équation différentielle suivante :
(E): f'(x) - 3f(x) = 3/(1+e^(-3x)) et qui vérifie f(0) = 0.
Soit une fonction f, définie sur R, solution de l'équation différentielle (E).
On désigne par f' sa dérivée.
On note h la fonction définie sur R par h(x) = e^(-3x)f(x).
On désigne par h' la dérivée de h.
1. Exprimer h'(x) en fonction de f'(x) et de f(x) pour tout réel x.
2. Expliquer pourquoi la dérivée h'(x) vérifie, pour tout réel x, h'(x) = (3e^(-3x))/(1+e(-3x))

Sagot :

Réponse : Bonjour,

1) On a:

[tex]\displaystyle h'(x)=-3e^{-3x}f(x)+f'(x)e^{-3x}=e^{-3x}(-3f(x)+f'(x))[/tex]

2) Comme f est solution de (E), alors:

[tex]\displaystyle f'(x)-3f(x)=\frac{3}{1+e^{-3x}}[/tex]

En remplaçant dans l'expression de [tex]h'(x)[/tex]:

[tex]\displaystyle h'(x)=e^{-3x} \frac{3}{1+e^{-3x}}=\frac{3e^{-3x}}{1+e^{-3x}}[/tex]